摘 要:利用代数问题的几何信息,建立模型,给出一些代数问题的解题策略。 关键词:代数问题 几何建模 策略 中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)09(a)-0202-01
代数问题几何建模是根据代数命题蕴含的特征或性质,运用适当数学变换,将代数命题表述为等价的几何命题,再借助几何直观性探寻解题途径,从而解答代数命题的一种方法。运用这种方法解题,必须审清题意,挖掘明显或隐含的条件,找到恰当的切入点,进行联想、类比,进而转化。
题目I:已知a,b,c,d为正数,,ac=bd,求证a=d,b=c
建模策略:从题目本身出发,寻求解答难以找到突破口,注意到,如果把a,b,c,d分别看作两个直角三角形的直角边,,分别表示这两个直角三角形的斜边的平方,建立如图1几何模型。利用RtABC与RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c。
题目Ⅱ:求的最小值,a、b、c是正数。
建模策略:表达式与两点间距离公式很相似,可将其看作动点M(x、o)到两定点A(o,a),B(c,-b)的距离的和,则只有这三点共线时才可能最小,由平面内三点共线的充要条件或者由三点共线知KMA=KAB,易得,代入原式化简得当且仅当时,取得该值。
可见,代数问题几何建模策略构思精巧,不仅能化繁为简,化抽象为直观,而且能触类旁通,锻炼思维能力,增强学习兴趣。其关键在于寻找有效的数形结合模型,一般思路是(图2)。
1平面几何建模
就是为代数问题建立平面几何模型,像题目I。
代数中的等式和不等式反映出来的是线段间的等量或不等量关系,根据这一特征,可用比较基本的知识点(如直角三角形、相似三角形的有关知识,平行线、圆的切割线、相交弦、射影定理,三角形的边角不等关系,面积总量等于各面积分量之和等)对某些代数问题建立几何模型。最常见有如下基本模型。
2解析曲线建模
题目Ⅴ:解方程
建模策略:将原式变形为。
取y2=4,则有。
这恰是以(1,0)、(11,0)为焦点,8为实长轴,中心在(6,0)的双曲线方程。由双曲线定义可得双曲线方程为,代y2=4于方程得,即为所求的方程解。
这种经变形可转化为解析曲线中的某些线量的代数问题,一般利用解析曲线的性质求解,其几何建模常见的有:三点共线(如题目Ⅱ),不同方程表尔同一曲线,直线斜率相等(题目Ⅱ),两点间距离、圆锥曲线的定义及其性质等。
3直曲交轨建模
这是一种最常用的方法。它要根据圆锥曲线与直线的位置关系及其所反映的性质来探求解答思路。
题目Ⅵ:求函数的定义值域
建模策略:构造直线L:s=yt,使t=x+2,,则s2=t-1(s≥0)是与L有公共点P(x+2,)的抛物线弧M,作图(图3)并由图知,当直线L在第一象限且处于t轴与相切时的切线之间时,L和M才有公共部分。
因此,0≤y≤K切(y为直线L的斜率)。
而过点(0,0)与抛物线s2=t-1(s≥0相切的切线方程为,这种策略需要根据己知条件或命题的特征,构造过定点的直线和曲线方程,然后利用它们所表示的关系(相切、相交、共同围成的区域、距离等)来进行几何论证。常用于求极植和值域(特别是求无理函数的)。
4其他类型
还可用于数列(特别是等差数例它的通项公式和前几项和公式与直线二次曲线表达式很相似)、方程根的讨论(用作图法求交点个数)和比较大小等问题上。代数问题的几何建模策略远不止这些,很有挖掘的必要。
通过上述讨论,不难发现,代数问题本身的复杂性、开放性以及应用者知识经验是其局限性所在。尽管如此,它作为开发智力、锻炼创造件思维能力,仍有特别的价值。