实际应用题是高考数学中不可或缺的考查内容，目的在于考查考生分析问题与解决问题的综合能力，以及强化数学的应用意识.从近年来的高考试卷中我们发现，三角函数的实际应用题具有情境丰富、理解复杂、转化不易、建构困难等特征.试题的考查形式以实践问题为媒介，通常会涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题.以实际问题的测量、航海为热点，以角或距离作为问题考查的核心，并辐射一些相关的其他量，如面积、速度、时间等，也会出现最值、探索型、存在型问题.从解题的本源分析，以平面几何为平台，重在考查解三角形与三角函数的性质等.试题分布较为自由，选择题、填空题、解答题均有显现，相比而言，客观题是三角函数应用的基本考查，而主观题是三角函数应用的综合考查.
例1 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
解 （1）如图1所示，要使相遇时小艇的航行距离最短，则小艇应以正北方向航行，并在C处与轮船相遇，此时△
1.三角函数应用题解题的一般思维进程
①认真阅读题目，正确理解题意.
②把文字语言合理转化为数学符号语言和图形语言，提取有效的数学元素，构建三角解题模型.
③明确模型中已知是什么，所求是什么，从已知到所求中，还需要哪些量，进而求解这些需求量.
④解得的代数结果是否满足实际问题，有待检验.
2.解三角函数应用题常见的技巧与方法
①实际情境往往是空间问题，一般要从空间问题中提取相应的平面图形问题.
②以解三角形为解题依托，解答相应边与角的大小，在此基础上解答相关的量，比如航行问题中的速度与时间等.要求考生熟知并灵活运用三角形的内角和为180°、三角函数的定义、常见三角恒等变换，掌握正弦定理、余弦定理在解三角形中的常见方法与基本技巧（比如，若等式两边关于边a，b，c或角的正弦成齐次式时，可以直接在边与相应角的正弦之间相互替换；若是关于边a，b，c的二次等式，不妨想想是否能用余弦公式）.
③用三角函数解应用问题时，常要引入某边或某角，并以引入量来探索所求问题的根本.
3.解答三角函数应用题的切入点以及如何避免不必要的失分
解题的切入点是正确、合理地作出平面几何图形，为下一步的解答提供正确的保障.考生要能将实际问题数学化，数学问题具体化.在此类问题的解答中，首先，考生要克服对应用问题的畏惧感，树立良好的思维品质；其次，考生要对相关的数学公式记忆到位，不能有错误，公式运用要有针对性，避免滥用、乱用等现象出现，对三角函数的化简、求值或解三角形的常见技巧与方法要胸有成竹；再次，考生要过好运算关，千万不要因某一数值的算错，致使全盘皆输，而要始终把得到的数值与实际问题联系起来，看看是否满足实际意义，对不满足的数值给予舍弃；最后，考生要熟悉应用问题中一些常用的术语，如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等，否则会因为概念不清而出现错解的现象.
（责任编校/周峰）
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