受直线与圆的位置关系判断方式有代数法和几何法两种的启发,笔者从直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1相切的条件“a2A2+b2B2=C2”出发,通过代数式的变形,发现了有趣的几何意义,在此与大家共享.
1 结论
直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切�a2A2+b2B2=C2 ①
2 形式变形及几何解释
形式变形1 (1)若B≠0,①式两边同除以B2得,a2A2+b2B2=C2�C2-a2A2B2=b2�(-C+aAB)•(-C-aAB)=b2,令y1=-C+aAB,y2=-C-aAB,则y1、y2分别是直线x=±a与直线Ax+By+C=0的交点的纵坐标.
几何解释1 斜率存在的直线l与椭圆E相切,则直线l与x=±a交点的纵坐标y1、y2之积等于椭圆短半轴的平方,即y1•y2=b2.
形式变形2 (2)若A≠0,①式两边同除以A2得,a2A2+b2B2=C2�C2-b2B2A2=a2�(-C+bBA)•(-C-bBA)=a2,令x1=-C+bBA,x2=-C-bBA,则x1、x2分别是y=±b与直线Ax+By+C=0的交点的横坐标.
几何解释2 斜率不为零的直线l与椭圆E相切,则直线l与y=±b交点的横坐标x1、x2之积等于椭圆长半轴的平方,即x1•x2=a2.
形式变形3 (3)不妨令AB>0,C