以折叠为背景的操作问题屡见不鲜，解答这类问题时，我们必须明白，折叠的实质是以折痕为对称轴的轴对称变换． 因此，折叠前与折叠后能够互相重合的线段相等，能够互相重合的角相等，能够互相重合的点所连线段被折痕垂直平分．
例1 如图1，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8．
（1）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
分析：（1）在△BDC中，∠C＝30°，要求∠BDF的度数，应先确定∠DBC的度数；（2）AB是Rt△ABD的一条直角边，要求其长，应先确定AD和BD的长．
解：（1）由BF＝CF，∠C＝30°，得∠FBC＝∠C＝30°．
∵△BEF由△BCF折叠而成，
∴∠FBE＝∠FBC＝30°．
∴∠DBC＝∠FBE＋∠FBC＝60°．
∴∠BDF＝180°－∠DBC－∠C＝90°．
（2）在Rt△BDF中，
∵∠FBD＝30°，
∴ DF＝BF＝4，BD＝＝4．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°．
∵∠A＝90°，
∴∠ABD＝30°，AD＝BD＝2．
∴ AB＝＝6．
例2 如图2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．
分析：（1）容易发现，四边形AEMF有三个内角都是直角，且有一组邻边相等，则它是正方形；（2）从△BCM是直角三角形入手，能确定正方形AEMF的边长．
解：（1）四边形AEMF是正方形，证明如下.
∵ AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵△ABE、△ACF分别由△ABD、△ACD折叠而成，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠3＝∠1，∠4＝∠2，AE＝AD，AF＝AD．
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，AE＝AF．
∴四边形AEMF是有一组邻边相等的矩形．
∴四边形AEMF是正方形．
（2）设正方形AEMF的边长为x，则ME＝x，MF＝x．
∵ BE＝BD，CF＝CD，
∴ BM＝x－1，CM＝x－2．
∵∠M＝90°，
∴BM 2+CM 2=BC 2．
∴(x－1)+(x－2)=9．
解之，x＝（负值舍去）．
∴S=()=．
例3 如图3－1，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5． 在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，如图3－2所示．
（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，请说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形，得AM∥DN，∠MKN＝∠AMK．要求∠MKN的度数，应先确定∠AMK的度数；（2）要判断△MNK的面积能否小于，应从计算这个三角形的面积入手． 为此，过点M作ME⊥DN于点E． 显见，ME＝AD＝1，那么△MNK的面积＝NK?ME＝NK． 这样，只需判断NK是否小于1；（3）由（2）的分析，△MNK的面积只与NK的长有关． 要使△MNK的面积最大，折叠时，应使折痕两边在CD边上重叠的线段最长，即使NK最大．
解：（1）依题意，四边形MBCN与四边形MKCN完全重合，则∠KMN＝∠1＝70°．
∴∠AMK＝180°－∠KMN－∠1＝40°.
∵AM∥DN，
∴∠MKN＝∠AMK＝40°.
（2）△MNK的面积不可能小于，为说明其原因，在图3－2中，过M点作ME⊥DN于点E，则ME＝AD＝1，MK≥ME．
∵AM∥DN，
∴∠KNM＝∠1＝∠KMN．
∴NK＝MK≥1.
∴△MNK的面积＝NK?ME＝NK≥．
∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．
（3）分两种情况：
如图3－3中，当点M在点A与点B之间时，将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合，NK有最大值． 再设AM＝x，则DM＝BM＝5－x．
∵ AD2+AM2=DM2,
∴ 1+x2=(5－x)2，x＝2.4．
∴ NK＝DM＝5－x＝2.6．
∴△MNK的最大面积＝NK?ME＝×2.6×1＝1.3．
如图3－4中，当点M与点A重合时，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC，NK有最大值． 再设MK＝NK＝x，则DK＝5－x．
∵ AD2+DK2=MK2,
∴ 1+(5－x)2=x2，x＝2.6．
∴ NK＝2.6．
∴△MNK的最大面积＝NK?ME＝×2.6×1＝1.3．
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