例1：已经知圆C：（x+4） +y =4和点A（-2 ，0），圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴相交于M，N两点，问：∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不是，说明理由。
分析：判断角是否为定值，只需判断该角所对应的某一种三角函数值是否为定值即可，采用余弦定理可求得余弦值，采用到角公式可求得正切值，均可进行判断。以下对两种解法进行比较区别。
解：设圆D的圆心为（0，b），半径为r，则M（0，b+r），N（0，b-r），由于圆C与圆D外切，
∴2+r= ，即b -r =4r-12。
方法一（利用余弦定理）： AM= ， AN= ，MN=2r。在△MAN中，利用余弦定理得：cos∠MAN= = = ，将b -r =4r-12代入得：cos∠MAN= = ，所以∠MAN= 。
方法二（利用到角公式）： tan∠MAN= = = ，
将b -r =4r-12代入得tan∠MAN= ，所以∠MAN= 。
例2：椭圆 + =1的左右焦点分别为F ，F ，P为椭圆左准线上的一个动点，问：当P处于何位置时，∠F PF 取得最大值？并求出此最大值。
分析：求角的最值问题时同样需要借助该角的某一三角函数值，同时还需结合三角函数的单调性进行判断，采用余弦定理应用余弦函数单调性、采用到角公式应用正切函数的单调性均可解决问题。
解：依题意可得F （-1，0），F （1，0），左准线为x=-4，设P（-4，y），y＞0。
方法一（利用余弦定理）： |PF |= ，|PF |= ， |F F |=2。在△PF F 中，由余弦定理得：cos∠F PF = = =
= = ≥ 。
∴当cos∠F PF = 时，
∠F PF 取得最大值，为arccos ，此时y= ，即P（-4， ），由对称性知处于x轴下方的P的坐标为（-4，- ），所以当P（-4，± ）时，∠F PF 取得最大值为arccos 。
方法二（利用到角公式）：∵k =- ，k =- ，
∴tan∠F PF = = = ≤ = 。
，∴当y= 即y= 时，∠F PF 取得最大值，为arctan ，此时P（-4， ），再由对称性知处于x轴下方的P的坐标为（-4，- ），所以当P（-4，± ）时，∠F PF 取得最大值为arctan 。
注：以上两题对利用余弦定理及到角公式两种解法进行比较，我们可以发现到角公式不仅减少了运算量，同时还降低了计算过程的技巧性难度。
例3：如图，直线 + =1与抛物线y =2px（p＞0）交于M（x ，y ），N（x ，y ）两点，求当a=2p时，∠MON的大小。
分析：由于此题涉及的未知数较多，利用余弦定理必须求得三边的长度，过程繁琐复杂，计算量大，采用到角公式则可减少计算量，过程简单。
解：把M（x ，y ），N（x ，y ）代入直线方程得： + =1， + =1，
所以x =a- y ，x =a- y ，再联立 + =1y =2px可得y + y-2ap=0，
∴y +y =- ，y y =-2ap，
∴k •k = • = =
= ，把a=2p代入得原式=-1，所以∠MON= 。
例4：椭圆 + =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，F 为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，直线CF 与AB交于D点，求∠BDC的大小。
分析：若采用余弦定理，则在求BD，CD的长度时就相当麻烦，而用到角公式时借助A点就可求得k ，k ，显得简单。
解：∵e= = ，所以a=2c，
又a =b +c ，
∴b= c，
∴tan∠BDC= = 。
将a=2c，b= c代入得：tan∠BDC=-3 。
∵∠BDC∈（0，π），∴∠BDC=π-arctan3 。
综合上面几例我们可以看出，在求解与角度有关的问题时，虽然两种方法均可以解决，可无论是解题的计算过程复杂程度，还是技巧能力要求方面，到角公式均有其优越性。
解析几何因其考虑问题方法多样，计算过程较为繁琐的特点一直以来都是学生较为畏惧的一部分内容，而作为高考的必考题型，掌握相对简单便捷的方法则是考试顺利解题的关键。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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