摘要:"设而不求"是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。本文主要就"设而不求"这一方法在中点弦与弦的中点、对称性、定值、定点、探求曲线方程、确定曲线方程参数等问题中的应用做一诠释和评析。
关键词:设而不求;应用;评析
中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)10-0058-01
解析几何的综合问题常常与直线和二次曲线的位置有关,如何避免求交点,从而简化计算,也就成了处理这类问题的难点和关键。“设而不求”这一方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。
一、在中点弦与弦的中点有关问题中的应用
例1.过点A(2,1)的直线与双曲线x2-■=1交于P1,P2,两点,求弦P1,P2的中点P的轨迹方程。
解:设P1(x1,y1),P2(x1,y2),则x2-■=1,x■■-■=1。两式作差并整理,得■=2■,设弦P1,P2的中点P(x0,y0),
又kP1,P2=kAP,则■=■,
∴所求中点P的轨迹方程是2x2-4x-y2+y=0。
评析:问题虽然简单,但提供了一种有关中点弦及弦的中点有关问题求解的程序化方法:设弦的两个端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),代入二次曲线方程并作差,便可以得到一组关于■、x1+x2、y1+y2的关系式,利用它们的几何意义即可以方便地得到问题的解。
韦达定理是数学整体意识的产物。如何设而不求?韦达定理可以助你一臂之力。
二、在有关对称性问题中的应用
例2.已知抛物线C: x-y2-2y=0上存在关于直线l: y=x+m对称的相异两点,求m的取值范围。
解:设抛物线C上关于直线l对称的两点是A( x1,y1),B(x2y2) ,代入抛物线方程并作差,得1=■(y1+y2)+2■,
又■=-1,∴y1+y2=-3。
又A、B两点分别代入抛物线C和直线l方程并分别相加,得x1+x2=y12+y22+2(y1+y2); y1+y2=x1+x2+2m,
∵y1≠y2,∴y12+y22>■,即3-2m>■,解得m0)上的一个定点,AB是抛物线上的动弦,且AQ⊥BQ,求证弦AB所在的直线必经过一个定点。
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y12=2px1 (1)
y22=2px2 (2)
b2=2pa (3)
■.■=-1(4)
(1)-(3),可得■=■;(2)-(3),可得■=■,再代入(4)式,可得■=1,
即(y1+y2)b+y1y2+b2+4p2=0,又(1)-(2),得kAB=,∴直线AB的方程是=,即()(y + b) =,∴直线AB必经过定点(a+2p, -b)。
四、在有关探求曲线方程问题中的应用
例5.已知椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴,它与直线x+y=1相交于A、B两点,C是AB的中点,且|AB|=2■,OC的斜率是■,求该椭圆的方程。
解:设椭圆方程是px2+qy2=1(p>0,q>0),A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差,得■.■=-■,
又■=-1, ■=■,∴■=■(1)
而|AB|-■x■-x■=2■,∴x■-x■=2.
联立直线x+y=1和椭圆方程可得
(p + q)x2-2qx+q-1=0 ,结合韦达定理,得 p2+q2+3pq-p-q=0 (2)
由(1) 、(2)解得p=■,q=■,
∴所求椭圆方程是■+■=1。
评析:斜率,中点坐标以及韦达定理总是形影不离,且相得益彰,从中可以窥视到数学的美。
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