【摘要】正项级数通项的多变性,决定了判别正项级数敛散性的方法会有多种,其中还会有两种或以上方法的结合,当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别。本文通过归纳一些判别正项级数敛散性的方法,从而希望起到铺砖引玉的作用,辅助大家学习。
【关键词】定义判别法 级数收敛的必要条件和级数性质 比较判别法 比值判别法
1.利用级数收敛的定义判定。
注:面对一道通项有规律的判定收敛性的题时,最初的想法应该从定义下手。
(定义:如果级数的部分和数列{Sn｝有极限,则收敛;反之发散。)
例题1、判别级数的收敛性。
解:,级数的部分和
因为
所以,原级数收敛。
2.利用级数收敛的必要条件和级数性质判定。
注:此方法的应用可以简单的判别敛散性。
(必要条件:如果级数收敛,则,即如果,则发散;
性质:如果级数、都收敛,则级数也收敛)
例题2、判别级数的收敛性。
解:令
因为
不满足级数收敛的必要条件,所以原级数发散。
例题3、判别级数的收敛性。
解:因为(p-级数,p=1),收敛,所以级数也收敛。
由上可得原级数收敛。
例题5、判别级数的收敛性。
解:,取
因为
而级数收敛,由比较审敛法的极限形式知原级数收敛。
例题6、判别级数(a>0)的收敛性。
解:
当时,,故原级数发散。
当时,,故原级数发散。
当时,
而级数是等比级数(),收敛,由比较审敛法知原级数收敛。
综上所述:当时,原级数发散。
当时,原级数收敛。
例题8、判别级数的收敛性。
解:因为()
所以
即
而级数收敛,所以级数收敛,由比较审敛法值原级数收敛。
4.比值审敛法。
注:判别一般项含nk、an、n!、nn等多个因子乘积的正项级数的敛散性时,我们常用比值判别法或(和)比较判别法,使得解体变得简单。
例题9、判别级数的收敛性。
解:因为,对于
级数有
由比值审敛法知级数收敛,再由比较审敛法知收敛,即原级数收敛。
5.根值审敛法。
注:对于所给的级数通项是n次方的或者含有n次方的项时,常用根值法简易判断。
例题10、判别级数的收敛性。
解:因为=
而,
由夹逼准则知
所以
由根值审敛法知原级数收敛。
6.积分审敛法。
例题11、判别级数的收敛性。
注:对于这种级数求收敛性可以利用积分的定义即求范围内的被积函数的和,以此可以简化思维量。
解:令x=n,即原式可转换为
所以原级数收敛。
参考文献
1 毛纲源.考研数学三(常考题型及其解题方法技巧归纳)[M].华中科技大学出版社,2004
2 四川工业学院数学教研室.高等数学题型分析[M].西南交通大学出版社,2001
3 龚冬保、武忠祥、毛怀遂、邸双亮.高等数学典型题第3版[M].西南交通大学出版社,2003
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