【摘要】针对文中所给出的已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)定义域或值域求实数a范围的问题,正确区分定义域为R与值域为R,准确使用△0,是解决这类问题的必胜法宝。
【关键词】定义域 值域 正确区分
Differentiate the field of definitions R from the field of numerical value R correctly
Zhang Hou’en
【Abstract】Aimed at the problem, evaluating the range of the real number a through the given field of definitions function or the field of numerical value of the known function f(x)=lg(ax2+2x+1), the best way for that is to differentiate the field of definitions R from the field of numerical value R correctly and use △0 correctly.
【Keywords】Field of definitions Field of numerical value Correct differentiation
题目:已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围。
在对数函数这一章里,这两个题始终象孪生兄弟一样,如影随形。也以孪生兄弟的面貌,干扰、混淆着同学们的思考。但认清实际,对症下药,问题也可迎刃而解。
解(1):根据定义域的意义,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集即为定义解,显然由题意可知不等式恒成立,所以 ,即 ,解得a>1。
所以,a的范围是(1,+∞)。
解(2):此题同学们极易错解成第1个题,这种解法错误的原因在于没有准确地理解值域为R的意义,根据对数函数的图象和性质可知,当且仅当t=ax2+2x+1能取遍一切正数,即t的值域包含区间(0,+∞)时,函数y=lg(ax2+2x+1)的值域才能是R。而当△0,是解决这类问题的必胜法宝。
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