摘 要： 数学来源于生活，服务于生活，只有把数学知识和实际紧密结合在一起，才能发现数学的奥秘，才能更好地学习数学。本文探索了如何应用轴对称思想解决最短路线问题。 关键词： 轴对称思想 最短路线问题 应用方法
学生已经学习了以下三个知识点：一、两点之间线段最短；二、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；三、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。那么，如何能充分理解和掌握，并灵活运用？我想只有和实际问题联系起来，学以致用，激发兴趣，才能提高分析问题、解决问题的能力。
例1.要在河边l修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？
分析：要解决这个问题，找出点A关于直线l的对称点A′，联结A′B交直线l于点P，则点P就是到A、B两村庄的距离之和最短的点的位置.
理由：根据轴对称的性质可知PA′=PA
所以PA+PB=PA′+PB=BA′
如果另外任选一点P（异于P），联结PA、PB、PA′，则有PA=PA′
在△PBA′中，PA′+PB＞BA′=PA′+PB=PA+PB
即PA+PB＞PA+PB
因此，PA+PB为最短.
由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。
该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。当然本题如果作B点关于的对称点也可。
例2.解决实际问题（通过学生感兴趣的实际问题，激发学生学习激情）。
打台球时，如图，要求把1号球打进右上底袋，请问如何打，路线是什么？
分析：要想把1号球打进右上底袋，只有反弹球，而反弹球的关键是找反弹点，如何找反弹点，自然就会运用到轴对称知识。
如图，找黄球的对称点，或找右上底袋的对称点都可找到反弹点P。
以上是作一次对称点就可以解决问题，然而有些实际问题还需要作两次对称点才能解决。
例3.如图：∠AOB=45°角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q，R（不同O），求△PQR的周长最小值.
作P点关于OA、OB的对称点P′、P″，联结P′P″交OA、OB分别于点Q、R.PQ+QR+RP最短.
即PQ+QR+RP=P′P″===10
通过以上知识的学习我们发现找最短路线的两种办法：一、两个点一条线时，作任意一点关于这条线的对称点，再与另一点连线即可找出最短路线的点；二、两个点两条线时，分别作两个点关于两条线的对称点，再连接两个对称点，找到两个交点为最短路线的两个点。
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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