高中数学的解析几何与其他章节相比较一个明显的特征就是计算量较大，而计算能力又是很多高中生的一个短板，因此他们在学习圆锥曲线这一章明显感觉吃力。很多学生可以很好地掌握解题方法，但是在具体的解题过程中经常由于计算问题而不能得到正确的答案，让人十分惋惜。事实上，圆锥曲线的具体解题运算中间也有一些小的技巧，只要学生能够掌握这些技巧，计算的正确率就可以得到提高。本文展示如何利用圆锥曲线中的对偶关系来简化运算。
例1.已知椭圆的两焦点为F（-，0），F（，0），离心率e=，
（1）求此椭圆的方程；
（2）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆方程为+=1，则a-b=c=3，e==，
解得a=2，b=1，所以椭圆方程为+y=1.
（2）显然，直线AB斜率存在，且不等于0，不妨设直线AB斜率为k，且k＞0.
设直线AB∶y=kx+1，BC∶y=-x+1；
联立直线AB与椭圆方程得：x+4（kx+1）-4=0，即（1+4k）x+8kx=0，
则x+x=-，xx=0，（x-x）=（x+x）-4xx=；
则|AB|==，将此式中的k换成-，可得|BC|=.
令|BC|=|AB|，得：=，即k-4k+4k-1=0，
也即（k-1）（k-3k+1）=0，解得k=1或k=.
所以，有三个这样的三角形.
点评：此题利用对偶关系非常快捷地由|AB|得到|BC|，并且假设k＞0，从而达到简化运算的目的。
例2.中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1，交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
解：设椭圆方程为mx+ny=1，联立椭圆与直线方程得：（m+n）x-2nx+n-1=0，
从而x+x=，xx=；
将两式中m，n的位置互换
得y+y=，yy=；
所以M（，），由OM的斜率为得：=…………①
由OA⊥OB，得xx+yy，从而m+n-2=0…………②
联立①②两式解得m=2（-1），n=2（2-）；
所以，椭圆方程为2（-1）x+2（2-）y=1.
点评：此题利用充分利用椭圆方程中的字母的对偶关系，巧妙地得到y+y，yy的值。
在高中的解析几何计算中只要题目中的式子出现了类似的对偶的量，就可以使用这种对偶关系来简化运算。在高中数学的其他板块都可以发现有类似的对偶关系，希望可以帮助学生稍微从繁复的运算中解脱出来。最后留下两个题目，读者可试着加以运用。
1.已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O是坐标原点，求+的值.
2.椭圆mx+ny=1与直线x+y=1交于A、B两点，C是线段AB的中点，若|AB|的长度是2，直线OC的斜率为（O为坐标原点），试确定椭圆的方程.
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