摘 要：三角函数是大量周期性现象的模型，由初中到高中，三角函数概念得到进一步的丰富和发展，学生往往囿于它的下位概念——锐角三角函数的概念的束缚，对概念的理解很难一步到位． 从根本上说，学生对概念认识的角度、深度和广度都要相应改变和提高，才能达到对概念的理解． 注重学生学习的实践活动，将已有的数学现实作为新知识增长点，把典型、具体的模型充实于概念的学习中，通过突出和发挥感性认识的作用，来体验概念的产生、发展过程，以逐步过渡到理性认识阶段，水到渠成，达到概念的内化．
关键词：周期性现象模型；感性认识；三角函数
到了高中阶段，三角函数概念摆脱了初中阶段的束缚，产生很大的飞越． 概念提升后，学生认识的角度、深度和广度都要相应地发生变化，对概念的理解才能从初中阶段顺利过渡到高中阶段．从人类认识运动的辩证过程看，首先是从实践到认识的过程． 在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并经历了由前者到后者的能动飞跃． 理性认识是基于感性认识的基础之上的． 感性认识和理性认识相互渗透，相互包含． 感性认识和理性认识在实践的基础上是辩证统一的． 认识运动是不断反复和无限发展的． 数学就是人类通过实践由感性认识上升到理性认识而形成的，并在不断丰富和发展．
初中阶段的三角函数概念，其研究范围是锐角，侧重几何的角度，在一个直角三角形中，研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系，其研究方法是几何的，研究目的是为解直角三角形服务． 高中阶段，它是在“角的概念的推广”的基础上进行讨论和研究的，研究从“静态”到“动态”，体现了运动变化的观点．通过构造，将给定的角通过直角坐标系研究，提供了用代数方法研究几何的思路，研究平台从初中的平面几何图形过渡到平面直角坐标系，再次体现了数形结合的思想． 任意角的三角函数作为函数概念的下位概念，要强调它是以角为自变量，比值为函数值的函数，由“锐角三角函数”概念扩张到“任意角三角函数”． 三角学的现代特征，是把三角量看做函数，即看做是一种与角相对应的函数值． 正如欧拉所说，“引进三角函数以后，原来意义上的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算”．
三角函数在高中数学教材中自成体系，成为独立的一章． 沿定义出发衍生的基本内容有：三角函数线、三角函数值的符号、同角三角函数关系、诱导公式、一些变换公式以及图象和性质，其内涵丰富，外延广泛． 在经历从锐角三角函数过渡到任意角三角函数定义的推广过程中，学生的理解很难一步到位，往往还是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系． 要克服负迁移，打破思维定式，突破它的下位概念——锐角三角函数的概念的束缚，承前启后，从狭义走向广域，达到概念的内化．
脱离实际的理论是空洞的，会显得苍白无力． 找到感性认识的切入点，通过突出和深化感性认识，提供一些适当的背景，增强学生学习活动的体验，学生能身临其境，伴随着“真情实感”来体验概念的产生、发展过程，逐步过渡到理性认识阶段，水到渠成．
以典型、具体的模型，通过适当的实践让学生从已有的知识经验去认知，明确研究范围的变化，开阔视野，引导学生进行提炼概括，才能揭示由此带来的新问题，加深对新概念的理解，这样的学习才会充满活力．
这里给出两个例子来加以说明．
以和我们日常生活息息相关的交流电为例，它的最基本的形式是正弦电流
如图1所示为发电机的示意图．当线圈在匀强磁场中以角速度ω逆时针匀速转动时，线圈将产生感应电动势． 当线圈平面垂直于磁感线时，各边都不切割，没有感应电动势，称此平面为中性面，如图2所示． 设磁感应强度为B，磁场中线圈一边的长度为l，平面从中性面开始转动，经过时间t，线圈转过的角度为ωt，这时，其单侧线圈切割磁感线的线速度v与磁感线的夹角也为ωt，所产生的感应电动势e′=Blvsinωt． 所以整个线圈所产生的感应电动势为e=2Blvsinωt，2Blv为感应电动势的最大值，设为Em，则e=Emsinωt． 此式为正弦交流电动势的瞬时值表达式，也称解析式． 正弦交流电压、电流等表达式与此相似．
图3
图4
从产生交流电的过程看，对比正弦曲线，此例是一个非常生动和具体的实例．
简谐振动
简谐振动有单摆摆动和弹簧振子运动．
理论和实验都证明，简谐振动物体的位移随时间变化的规律呈正弦函数或余弦函数．
以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出简谐运动的位移—时间图象都是正弦或余弦曲线，振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律． 由图象可知振动的周期，可以读出不同时刻的位移；根据图象可以确定速度大小、方向的变化趋势；还可以根据位移的变化趋势判断加速度的变化，也能判断质点动能和势能的变化情况．
学生如果能从所熟悉的问题、感兴趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知识等这些背景出发，不仅把已有的数学现实作为新知识增长点，从现有的知识经验中培养新的知识经验，也将所学的数学知识与他的现实生活联系起来，找到数学知识在实践应用中的切入点，把数学应用于现实世界，服务于当代和新生科学的理论和实践，“把现实的数学与学生个体的现实紧密地结合起来”．
任意角的三角函数反映了自然界中或工程技术中的一个非常重要的周期运动现象，是大量周期性现象的模型，也是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的．
三角函数作为研究自然界和生产实践中变化现象的重要数学工具，它在测量、力学、工程及无线电学中有着广泛的应用． 在高中数学教材中自成体系，成为独立的一章，可见其内容的丰富，应用的广泛． 它不仅为复数、平面向量、解析几何等内容的学习做必要的准备，同时也是其他知识的出发点，是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础．
增强学生数学学习的感性认识，往往能把数学延伸到其他领域，实现多门类、多学科的相互交叉与渗透，有利于拓展学生的知识面，提高学生的综合素质，使学生向全方位复合型人才发展．