中学数学教材是由许多有关的概念和原理构成的知识体系。概念是它的“知识单元”,原理则是由“知识单元”构成的必然联系。学生对数学教材的理解,就是要理解教材中的概念、原理及其体系,把新学习的知识与已有的知识联系起来,充实或扩大原有的数学认知结构,形成新的数学认知结构,从而达到对数学教材的真正理解。
(1)提供与概念和命题相适应的感性材料。根据学生认知规律,要学生形成准确的概念,其首要的条件是使学生获得十分丰富和切合实际的感性材料。当日常概念与科学概念的内涵一致时,起积极影响,不一致时起消极作用。如日常的“邻居”概念有助于“邻角”的理解;日常经验的“垂”则干扰对数学上“垂直”的理解。在教学中,要密切联系数学概念的现实模型,引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例,观察有关的实物、图示、模型,在具有充分的感性认识的基础上引入概念,为上升到理性的高度准备条件,促使具体到抽象的飞跃,同时,也使抽象的事物变得生动可感,实现抽象到具体的转化 。
(2)正确揭示数学概念的内涵和外延。概念在人们头脑中的形成,仅是人们对概念认识的开始,对概念认识的深化必须从概念的内涵和外延上作深入的分析。分析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。而概念和外延之间有着密切的关系,概念的内涵严格地确定了概念的外延,反过来,概念的外延也确定了概念的内涵。因此,概念的内涵有所改变的话,一定导致概念的外延的改变,反过来也一样。例如扩大“平行四边形”这个概念的内涵,增加“对角线互相垂直”这一属性,那么它的外延就缩小了,只剩下菱形和正方形了;如果缩小“平行四边形”的内涵,只要求有一组对边平行,它的外延就扩大了,除了平行四边形外,还有梯形。所以,在教学过程中,应注意在概念的形成过程中,对概念的内涵和外延作透彻的分析,对概念进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化等过程,必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析,用不同的方式进一步揭示不同概念的本质属性。
(3)正确处理数学概念、数学命题抽象化和具体化的关系。用数学符号来表示数学概念,既是数学的特点,又是数学的优点。由于数学概念本身比较抽象,加上用符号表示,从而使数学概念更抽象化,而概念所反映的客观主体却被人们所熟悉,通过对数学概念、数学命题具体化,人们可以进一步认识事物的基本结构、属性和特征;可以分出事物的表面特征和本质特征,使认识深化,可以分出概念的情景、条件、任务,便于利用概念去解决思维问题。因此,在教学过程中,要正确处理好数学概念、数学命题的抽象化和具体化的关系,首先要注意不要把概念与实际对象脱节,其次要注意不要把概念和符号脱节。 例如学生往往把正弦函数的符号“sin”看成一个数,从而得出如下的错误等式:sin(α+β)=sinα+sinβ。又如,不考虑反三角函数成立的条件,错误地认为: arc sin +arc cos=也成立。
(4)数学知识系统化、从系统中加深理解知识间的联系。数学的系统性很强,任何一个概念都处在一定的在知识系统中,要掌握概念,必须弄清概念的地位和作用,以及概念之间的内在联系,要在整体上、全局上把握概念的全貌 ,通过对所学的概念进行归纳,把新学的概念归纳到原有的知识体系。一方面,有利于对新概念的理解,也有利于旧知识的巩固和充实,并牢牢地记住;另一方面,有助于对原有的概念的修正,从而形成正确的概念体系。概括是使知识系统化的一个重要方面,在分析的基础上,人可以对事物进行再分析,这就是对事物进行归纳与分类,使其系统化的过程。所谓系统化,就是人脑把一般特征和本质特征相同的事物,分类并归纳到一定类别系统中去的过程。由于有些种属关系的概念在教材中常常是分散出现的,故应适时地把它们联系起来,归纳、概括于一个系统中。如学生掌握整数、分数、小数的知识后,可以概括归纳成有理数;当数的概念扩大、学习了无理数(,π等)之后,又可把有理数和无理数概括为实数;掌握了虚数,如()之后,又可把实数与虚数概括为数,从而掌握系统的数学知识,这就是系统化的过程。只有通过把概念系统化的过程,才能使学生真正掌握概念的使用,加深对概念的理解。
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