在高等代数中,有关于多项式除法的一个定理： 设f(x)和g(x)是F［x］中的任意两个多项式,并且g(x)≠0,那么在F［x］中可以找到多项式 q(x)和r(x),使f(x)=g(x)•q(x)+r(x),这里,或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数,满足以上条件的多项式q(x)和r(x)只有唯一一对.
这个定理在求数列通项时,有着特别的应用.学生在使用时,却并不需要知道上述定理的内容,只要知道上述定理的做法即可.
例1 (2004年重庆高考压轴题)设数列{an}满足：a1=1,a2=53,an+2=53an+1-23an,n=1,2,…,(1)令bn=an+1-an,(n=1,2,…,)求数列{bn}的通项公式.
解 an+2=53an+1-23an即3an+2-5an+1+2an=0,用an+2-an+1对此式作带余除法,有3(an+2-an+1)+(-2an+1+2an)=3an+2-5an+1+2an,即3bn+1-2bn=0,故{bn}是公比为23的等比数列,且b1=a2-a1=23,故bn=(23)n,n=1,2,….
例2 (2004年湖北高考压轴题)已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+1an,n=1,2,….(1)已知数列{an}的极限存在且大于零,求A=limn→∞an(将A用a表示)；(2)设bn=an-A,n=1,2,…,证明bn+1=-bnA(bn+A).
解 (1)对an+1=a+1an取极限运算,得a=A-1A.
(2)an+1=a+1an变形为anan+1-aan-1=0,用an+1-A除以anan+1-aan-1,得anan+1-aan-1=an•(an+1-A)+(A-a)an-1,代入相关数据,有(bn+A)•bn+1+bn+AA-1=0,变形有bn+1=-bnA(bn+A),n≥1.
例3 (2005年重庆高考压轴题)数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0,n≥1,记bn=1an-12,n≥1,求数列{bn}的通项公式.
解 bn=22an-1,变形有2an-1=2bn.用2an-1除以8an+1an-16an+1+2an+5,有8an+1an-16an+1+2an+5=(2an-1)•(4an+1+1)-6(2an+1-1),故2bn•(4bn+1+3)-6bn+1=0,化简,得bn+1=2bn-43,bn+1-43=2(bn-43),
不难求得bn=2n3+43,n≥1.
例4 (2006年福建高考压轴题)设数列{an}满足：a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n∈N*,(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.
证明 (1)用an+2-an+1除以an+2-3an+1+2an,得an+2-3an+1+2an=(an+2-an+1)+(-2an+1+2an),即有(an+2-an+1)=2(an+1-an),故数列{an+1-an}是等比数列.
(2)不难求得an=2n-1.
例5 (2007年天津高考试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,证明数列{an-n}是等比数列.
证明 用an+1-(n+1)除以an+1-4an+3n-1,得an+1-4an+3n-1=1•［an+1-(n+1)］-4(an-n),即［an+1-(n+1)］-4(an-n)=0故{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列.
例6 (2008年天津高考试题)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1,n≥2,q≠0,(1)设bn=an+1-an,n≥1,证明{bn}是等比数列.
证明 已知条件可变形为an+1-(1+q)an+qan-1=0,用bn=an+1-an除以an+1-(1+q)an+qan-1有an+1-(1+q)an+qan-1=(an+1-an)-q(an-an-1),即bn-qbn-1=0,n≥2,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列
例7 (2010年全国高考卷Ⅰ压轴题)已知数列{an}中,a1=1,an+1=c-1an,(1)设c=52,bn=1an-2,求数列{bn}的通项公式.
解 an+1=c-1an变形为2an+1an-5an+2=0,用an+1-2除以2an+1an-5an+2,有2an+1an-5an+2=2an(an+1-2)-(an-2),即2(1bn+2)bn+1-1bn=0,化简有bn+1=4bn+2,bn+1+23=4(bn+23),不难求得bn=-4n-13-23.
例8 (2011年天津高考压轴题)已知数列{an}与{bn}满足bnan+an+1+bn+1an+1=0,bn=3+(-1)n2,n∈N*,且a1=2,a2=4.(1)求a3,a4,a5的值；(2)设cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明{cn}是等比数列.
解 不难求得a3=-3,a4=-5,a5=4.对任意n∈N*,有a2n-1+a2n+2a2n+1=0(1).由(1)可得,cn+(a2n+a2n+1)=0(2)；由(2)得到cn+1+(a2n+2+a2n+3)=0(3);又由已知条件有,2a2n+a2n+1+2a2n+2=0(4),由(4)式可得a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0(5),以上两式相加有2a2n+2a2n+1+2a2n+2+2a2n+3=0(6),（2）式加上（3）式得,cn+1+cn+(a2n+2+a2n+3+a2n+a2n+1)=0,故cn+1+cn=0,所以{cn}是等比数列.
从初等数学的角度而言,多项式的带余除法有如整数的带余除法,理论上也不深奥,做法也简单,可以程序化地操作,学生在考试中用得上.这种做法给我们一个启示是,还有哪些多项式的理论与方法能在数列中找到应用呢？