集合的思想在数学中应用十分广泛。下面我简要介绍集合在代数中的一些应用。 一、用集合思想分析充要条件 集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域,也就自然地成为探索各种充要条件的基础。对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题,若能用好集合概念,则能简化思维过程,提高思维效率。
1.子集、真子集及相等集合关系中所蕴含的充要条件问题。
首先,从子集关系理解充分条件与必要条件。对于集合A,B,若A?哿B,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件,同时称“x∈B”是“x∈A”的必要条件。
其次,将充要条件问题用集合表现出来,是指:
(1)当A=B时,“x∈a”是“x∈B”的充分且必要条件。
(2)当A?奂B(A是B的真子集)时“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;同时,“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件。
(3)若上述条件都不成立,则“x∈B”是“x∈A”的既不充分又不必要条件。
2.用集合关系表述命题条件。
将充要条件问题以集合关系表现出来,是用集合关系探究数学知识中各种充要条件问题的基础.对于条件p与结论q,若“p真”等价于集合A={X|P(X)真｝,“q真”等价于集合B={X|q(X)真｝,则条件p与结论q的关系可通过集合之间的集合关系来表述:
(1)当A=B时,条件p是结论q的充分且必要条件;
(2)当A?奂B时,条件p是结论q的充分但不必要条件;
(3)当A?劢B时,条件p是结论q的必要但不充分条件;
(4)若在上述情况之外,则条件p是结论q的既不充分又不必要条件。
二、用集合思想分析复合命题的构成
若记A={X|X满足性质p｝,B={X|X满足性质q｝,则可以得到如下结论:
(1)命题“p或q”即:“X∈A或X∈B”,即X∈A∪B;
(2)命题“p且q”即:“X∈A且X∈B”,即X∈A∩B;
(3)命题“非p”即:“X∈A”,即X∈CA。
例1.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”形式的复合命题,并判断其真假:
p:X=1是a方程x-1=0的解;q:X=-1是方程x-1=0的解。
解p或q:“X=1是方程x-1=0的解或X=-1是方程x-1=0的解”,也可写成:“X=1或-1是方程x-1=0的解”。因为p:X=1是方程x-1=0的解,用集合分析,即�1�?哿�X|x-1=0�是真命题,q:X=-1是方程x-1=0的解,用集合分析,即�-1�?哿�X|x-1=0�是真命题;p或q:“X=1或-1是方程x-1=0的解”,用集合分析即�-1,1�?哿�X|x-1=0�是真命题,符合真值表,所以可以这样改写。
三、用集合思想分析方程组的同解
用消元法解方程组的过程是同解变形的过程,但学生往往对这种思想方法并不能很好地理解。然而学习了集合知识之后,则很容易理解了。
例2.解二元二次方程组x-y=5x+y=625。
若用集合来分析,做法如下:
解:{(x,y)|x-y=5x+y=625}
={(x,y)|x-y=5}∩{(x,y)|x+y=625}
={(x,y)|x=20y=15或x=-15y=-20}
={(20,15),(-15,-20)}
学生对以上的分析更能理解。
四、用集合思想分析加法原理与乘法原理
在学习加法原理与乘法原理时,如果让学生机械地记忆于完成一件事有n类不同的方法就用加法原理,完成一件事有n步就用乘法原理,是不妥的,用集合来分析理解:所谓n类不同的方法,实际上就是n个两两不相交的集合,求方法的总数就是求这个并集的基数,故用加法原理;有n步,说明缺一步不可,同时出现,实际上表示的n个集合的交集,求方法总数当然就用乘法原理了。
五、用集合思想分析排列与组合问题题
排列组合综合题求解时切忌重复和遗漏,引用集合来讲,则不存在这个问题。
例3.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一排,甲不站在左端,乙不站在右端,共有多少种排法?
解:设A={甲站在左端的排列},B={乙站在右端的排列},则A∩B={甲站在左端,同时乙站在右端的排列},不含条件的排列数是n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=A+A-A,无附加条件的排列数是A,故合条件的排列数是A-(A+A-A)=504。
另外,用集合思想还可以辨析分步计数中的重复错误。采用分步计数最容易出现的错误就是“重复”与“遗漏”,其中以重复最为隐蔽,难以觉察。这是因为,分步方案不产生计数遗漏,需要的是所有满足要求的情形都能够通过它得以实现,这一般较容易办到。
六、用集合思想分析互斥事件和对立事件
互斥事件与对立事件是概率论中的重要概念。单凭举例,学生不容易掌握,如果用集合思想去分析,将是很清楚的,设几个事件分别用集合A,A…A表示;如果这几个事件构成一个完备事件组,即一切可能事件都在内了,可以用全集I=A∪A∪…∪A表示。对于其中某二事件例如A,A,若有A∩A=φ,则A,A叫互斥,否则不叫互斥。对于I=AUAU…∪A,其中任一事件(或组)和剩下的事件(组)构成对立事件,当然,首先要互斥。
七、用集合思想理解数学归纳法
皮亚诺公理:1.1是一个正整数。2.每个正整数a都有一个后继数(实际即a+1)仍是正整数。3.1不是任何正整数的后继数。4.若a与b的后继数相等,则a与b相等。5.设S是正整数集合N的子集,若:(1)1属于S;(2)当k属于S时,k的后继数(实际即k+1)一定有也属于S,则S=N。
这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征。上述公理5也称为数学归纳法原理,它给出了证明一个集合是正整数集合的一种方法,是数学归纳法的理论基础。所以说,用集合思想理解数学归纳法是很自然的,因为归纳公理是运用集合推出的。
总之,用集合思想解代数中的有关问题是一种很重要的数学思想方法。在代数教学中,教师要适时引导学生加以应用,以提高学生的解题思维能力。
参考文献:
[1]熊惠民.用集合论观点辨析分步计数中的重复错误.中学数学教学参考,2009,1-2.
[2]陈凌,宗平芬.集合关系与充要条件.高中数学教与学,2008,10.
[3]唐一良.用集合分析中学逻辑中的几个问题.高中数学教与学,2007,2.
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