应用分式方程解决实际问题时,首先要知道分式方程是指分母中含有未知数的方程。其次是使原分式方程的分母为零的根是原分式方程的增根。产生增根的原因是什么呢?是因为去分母时,在分式方程的两边同时乘以了一个可能使分式方程的分母为零的整式。这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。所以检验所得出的结果尤为重要。通常列方程解应用题的步骤是:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验、答题。下面举例说明:
例1 甲、乙二人同时从张庄出发,步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米,结果比乙早到半小时。二人每小时各走几千米?
分析:(1)题目中已表明此题是行程问题,实质上是速度、路程、时间三者之间的关系隐含在题中的。
(2)题目中所隐含的等量关系是:甲从张庄到李庄的时间比乙从张庄到李庄所用的时间少半小时,即甲运动的时间=乙运动时间-■(或甲运动时间+■=乙运动时间,或乙运动时间-甲运动时间=■)。
(3)如果设乙每小时走x千米,那么甲每小时走(x+1)千米,乙走15千米用■小时,甲走15千米用■小时,此时可列出方程。
解:设乙每小时走x千米,那么甲每小时走(x+1)千米,根据题意,得
■=■-■
去分母,整理,得x2+x-30=0.
解这个方程,得x1=5,x2=-6.
经检验,x1=5,x2=-6都是原方程的根,但速度为负数不合题意,所以只取x=5,这时x+1=6.
答:甲每小时走6千米,乙每小时走5千米。
例2农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机,一部分人骑自行车先走,过了40分钟,其余人乘汽车去,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度。
分析:汽车所用的时间=自行车所用时间-■
解:设自行车的速度为x千米/时,那么汽车的速度是3x千米/时,
根据题意,得
■=■-■
解得:x=15 3x=45
经检验,x=15是原方程的根。(得到结果记住要检验由x=15得3x=45)
答:自行车的速度是15千米/时,汽车的速度是45千米/时。
例3一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地,然后逆流回航到出发地,航行时间共5小时20分。已知水流速度为每小时3千米,小艇在静水中的速度是多少?小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少?
分析:(1)顺水速度=在静水中速度+水速,逆水速度=在静水中速度-水速
(2)题目中的相等关系:顺流航行时间+逆流航行时间=5小时20分。
(3)设小艇在静水中速度为x千米/小时,则顺流航行速度为x+3(千米/时),逆流航行速度为x-3(千米/时),小艇顺流航行63千米的时间为■小时,逆流航行时间为■小时,由此可列出方程。
解:设小艇在静水中的航行速度为x千米/时,则顺流航行的速度为(x+3)千米/时,逆流航行的速度为(x-3)千米/时,根据题意,得
■+■=5■
去分母,整理得8x2-189x-72=0
解得x1=24,x2=-■
经检验x1=24,x2=-■都是原方程的根,但速度不能为负数,故x=-■不合题意,舍去。
∴x=24
答:小艇在静水中的速度为24千米/时,顺流航行2小时20分,逆流回航3小时。
在解题中教师要通过引导学生来分析,列出方程以至于解出方程。在分析过程中和解题过程中,教师要强调单位的统一性以及检验的步骤。解分式方程时要通过去分母使它转化为整式方程,也就是使未知数从分母的位置“移到”分子上来,注意这里的去分母是在方程的两边同乘一个含未知数的式子,而不是一个非零常数。因此,这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。
所以通过去分母得出的解必须经过检验。当这个解使得分式方程的分母不为零时,它才是分式方程的解。而在实际问题中还要检验所解的结果要符合实际生活,才是真正有意义的解。否则都应该舍去。
作者单位:
江苏省东海县双店中学
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