摘 要： 求数列通项是每年高考数学中的一个重要考查点，它能考查学生对数学知识的综合运用能力和对数学基本思想方法的掌握程度。本文主要对其中一类数列问题的类型与求解方法进行探讨。
关键词： 数列通项 高考数学 数学归纳法
数列问题是每年高考数学中的热点和难点内容，它能考查学生对数学知识的综合运用能力和对数学基本思想方法的掌握程度。纵观历届有关数列的考题，形式多样，解法不一。但透过现象看本质，我们依然可以对各种题型进行归类，寻找规律，对它们的解法进行探讨.数列中第n项a与前n项和S的关系式S=a（n=1）S-S=a（n≥2）是一个基本关系式，它常与递推关系一起出现在各种考题中，下面我们就这一类数列问题的类型与求解进行详细的探究.
类型一：给定数列前n项和S，求通项a.
例1：若S是数列{a}的前n项和，且S=n，则{a}是（）.
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等差数列，又非等比数列
解析：这类题较为简单，一般出现在填空题或选择题中，利用a与S的关系就可直接得出.
a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=n-（n-1）=2n-1
即a=2n-1（n∈N），故选B.
类型二：给定数列前n项和S的递推关系，求通项a.
例2：已知数列{a}的前n项和S为，S=1，且S=S（n≥2），求通项a.
解析：常用方法是由S的递推关系式求出S，再由a与S的关系求出通项a.
S=S
S=S
S=S
……
S=S
上面各式左右两边分别相乘得：S=
所以a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=-=
即a=（n∈N）
类型三：给定含有S与a的混合型关系式.
这一类问题较前面两种要更为复杂，是常见的综合题型之一.这类题型的求解要结合类型一和类型二的解题思想来处理，常用的方法有以下三种.
（1）变形为关于S的递推关系转化成类型二求解.
例3：在各项均为正数的数列{a}中，数列前n项和S满足S=（a+），求通项a.
解析：可利用a=S-S（n≥2），将所给的递推关系式变为只含有S和S，求出S后再求出a.
由a=S，S=（a+）得S=1，
当n≥2时，
将a=S-S代入S=（a+）得：
S=［（S-S）+］
即S-S=1
所以数列{S}是首项为S=1，公差为1的等差数列，得：
S=1+（n-1）•1=n
因为a＞0，所以S＞0，有S=,
所以a=S-S=-（n≥2）
综上可得：a=-（n∈N）
（2）变形为关于a的递推关系求解.
例4：设数列{a}的前n项和为S，求通项a.
解析：根据题目所给的条件，可将递推关系式化为关于a的式子来求解.
因为S+S=2a①
S+S=2a②
②－①得：
a+a=2a-2a
即a=3a（n≥2）。
由S+S=2a得：a=2a=6
所以{a}是从第二项a=6起，公比为3的等比数列，得：
a=a•3=2•3（n≥2）
所以a=3 （n=1）2•3 （n≥2）
显然，此题也可用方法（1）求解，这里不再赘述.
（3）归纳猜想出a，采用数学归纳法证明.
例5：设数列{a}前n项和为S，且S=a，a=求通项a.
解析：这里可先根据条件求出数列前几项的值，寻找规律猜想结果，再用数学归纳法证明.
由S=a+a=a，a=，得a=0
同理，S=a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a+a=a，得a=0
S=a+a+a+a+a+a=a，得a=
S=a+a+a+a+a+a+a=a，得a=
……
由此猜想a=sinπ，下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a=sinπ=，a=sin=0成立.
（2）假设n≤k+1时成立，当n=k+2时
a=S-S
=a-a
=sinπ-sinπ
=2cosπ•sin
=cos（+）
=-sin
=sin（+π）
=sinπ
=sinπ
所以当n=k+2时成立.
因此，对n∈N，a=sinπ成立.
对于类型三，选择何种方法由题目给出的条件而定，不应拘泥于某种思路.但数学归纳法是最基本，也是最重要的方法之一，归纳、猜想与证明是数学发现的重要途径.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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