摘 要： 本文通过实例，从分析法、探索法与认知心理等学角度出发，探索立体几何求证问题的解决策略。 关键词： 立体几何求证问题 解题策略 “目标转换、尝试探索”法
在高中数学教学中，我们经常会遇到这样的现象：同学们一见立体几何求证问题就会发蒙，不知从哪里下手求解。如果学生能想到“怎样找到证明的思路？”“为什么会想到这种方法？”“你是怎样想到的？”就说明学生大脑处在一种积极的思考探索中，这时若老师因势导利、合理引导并让学生付诸实践，学生的思维和能力都会得到长足提高，在不断地探索与反思中走向成功的彼岸。
这些问题实际上就是怎样探索解题思路的问题。波利亚在论著《怎样解题》中进行了理性的思考并提供了行之有效的方法和措施。其中“怎样解题表”将解题程序划分为四个过程：①弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么？条件是什么？未知是什么？结论是什么？也就是我们常说的审题。②拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上，从中捕捉有用的信息，并及时提取记忆网络中的有关信息，再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合，从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。③执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来，同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。④回顾。对所得的结论进行验证，对解题方法进行总结，对思路策略进行归纳，对思维历程进行回顾而进行经验积累，为今后解决新问题提供理论依据与实践基础。
学生在教科书或资料的例题学习中，只能看到最终的解答，而隐含在解答背后的思考过程和思维历程则是看不见的，也就是不能了解解答人的探索过程。这就是学生学习的困难所在。正如波利亚所说：“拟定计划往往是不容易的，而执行计划要容易得多，我们所需要的主要是耐心。”这说明探索思路是解决问题的关键和难点。因此，教师应引导学生自己独立地探索出解题思路，自然地、积极地将原有的知识、方法、思维等图式拓展为更丰富、有序、高效的图式的过程。
我根据多年的立体几何教学实践，总结了“目标转换，尝试探索”的分析方法，对帮助学生分析和解决立体几何求证问题有很好的指导作用，特别是帮助初学立体几何的同学巩固知识、探索求解、积累经验有很好的导向作用，在实践中取得了理想的效果。为进一步与大家探索，现总结如下。
“目标转换、尝试探索”法：从要解决的问题出发，借助相关的知识、方法、经验探索出与所要解决问题等价、相关的各种可能，然后对每一种可能进行尝试，得出可行的解决办法。也就是利用等价转换的思想，将目标转换为若干类（每类可能有一个或若干个小目标）具体的目标，再利用验证、假设、反证等手段讨论各类目标的可行性，从而找出解题思路。如果一次转换与尝试不能解决，再进行第二次转换与尝试或更多次转换与尝试，直到问题解决为止。目标决定了研究的方向，具有指导性；尝试决定了研究的可能，具有实践性，在目标的指导下，不断地进行尝试找到解决问题的途径或最优化途径。
下面通过实例，垂直的问题分析、尝试如下：
例：已知四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，过A且垂直PC的平面分别交PB、PC、PD于E、F、G，求证：AE⊥PB，AG⊥PD。
分析：要证空间线线垂直问题，可转换为线线垂直、线面垂直等思路，因此从知识方法思考得两种尝试途径：一、转换为线线垂直，二、转换为线面垂直。下面就AE⊥PB探索尝试如下。
在解题思路的基础上，执行解题计划，得出解答如下：
证明：∵PA⊥面ABCD，BC?奂面ABCD
∴PA⊥BC目标〈6〉
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC
又PA?奂面PAB，AB?奂面PAB，PA∩AB＝A
∴BC⊥面PAB目标〈5〉
又AE?奂面PAB
∴BC⊥AE目标〈3〉
∵PC⊥面AEFG，AE?奂面AEFG
∴PC⊥AE目标〈4〉
又PC?奂面PBC，BCN?奂面PBC，PC∩BC＝C
∴AE⊥面PBC目标〈2〉
又PB?奂面PBC
∴AE⊥PB目标〈1〉
学生在开始学习时，需要时间了解和熟悉，教师应放慢脚步，给学生充分的时间让学生理解与明白，吃懂吃透。当学生的实践积累到一定的程度，就会很迅速地直观感觉出哪些转换是可行的，哪些转换是不可行的，按可行性的思路追寻下去，快速作出解题的计划。
通过以上探索，同学们不仅能巩固知识、方法，而且能加强知识、方法的应用，提高分析问题与解决问题的能力，同时培养探索问题的能力与创新素质。
参考文献：
［1］谷政.略论波利亚教育思想与当代数学建构教学观.福建中学数学，2002，2.
［2］罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，1997.
［3］过伯祥.波利亚的解题观，中等数学，1988，2.
［4］郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论.成都：四川教育出版社，2001.
［5］波利亚著.阎育苏译.怎样解题.北京：科学出版社，1982.
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