摘 要： 作者针对教材中的一道代数题，分别采取多项式的带余除法，多项式的泰列展式，二项式定理，范德蒙行列式，给出它的四种解法。 关键词： 带余除法 泰列展式 二项式定理 范德蒙行列式
在教材（即文献）附录习题的第25题：
令f（x）∈P［x］，i=0，1，2…，n-1（n为自然数，a∈P）.证明：若（x-a）|f（x）x，则（x-a）|f（x），i=0，1，2，…，n-1.
该题条件比较复杂，学生在做这道习题时，普遍感觉证明起来比较困难。下面从多项式的带余除法、多项式的泰列展式、二项式定理、范德蒙行列式出发，给出四种解法。
方法1： 分析：这道题目是关于多项式整除的，自然就想到了运用多项式的带余除法证明该题。
证明：对于多项式f（x），（x-a）∈P［x］，存在q（x）∈P［x］，r∈P，使得f（x）=q（x）（x-a）+r，0≤i≤n-1
只需证明r=0，i=0，1，2，…，n-1即可.
于是
f（x）=q（x）（x-a）+r，0≤i≤n-1
从而
f（x）x=q（x）（x-a）x+rx
再由假设条件（x-a）|f（x）x，得（x-a）|rx
所以rx，即有r=0，i=0，1，2，…，n-1.
从方法1我们看到解这道题的关键就是将f（x），i=0，1，2，…，n-1表示成x-a方幂的形式。于是利用多项式在x=a的泰列展式就得到了方法2，利用二项式定理就得到方法3。
方法2：证明：假设f（x）是m阶的，那么它在x=a的泰列展式是：
f（x）=f（a）+（x-a）+（x-a）+…+（x-a）
=f（a）+（+（x-a）+…+（x-a）（x-a）
记g（x）=（+（x-a）+…+（x-a）），
于是
f（x）=f（a）+g（x）（x-a），i=0，1，2，…，n-1.
再利用方法1的证明过程即可.
方法3：证明：假设f（x）=ax+ax+ax+ax+a，
则f（x）=ax+ax+ax+ax+a
又因为
（x-a+a）=（x-a）+C（x-a）a+…+C（x-a）a+a
=［（x-a）+C（x-a）a+…+Ca］（x-a）+a
记g（x）=（x-a）+C（x-a）a+…+Ca，
于是
x=g（x）（x-a）+a，j=1，2，…，m
从而
f（x）=［ag（x）+ag（x）+…+ag（x）+ag（x）］（x-a）+f（a）
其中i=0，1，2，…，n-1.
再利用方法1的证明过程即可.
在说明方法4之前，先看一个例题。
例题1（见文献第一章习题25）：证明：若（x+x+1）|f（x）+f（x）x，则（x-1）|f（x），（x-1）|f（x）.
证明：因为x+x+1在复数域中有两个根为ε、ε，其中ε＝cos+isin，
又因为（x+x+1）|f（x）+f（x）x，
所以ε、ε也是f（x）+f（x）x的两个复根，并注意到ε=1，所以
f（1）+f（1）ε=0f（1）+f（1）ε=0
解此方程组得f（1）=0，f（1）=0.
于是（x-1）|f（x），（x-1）|f（x）.
在证明这道例题的过程中，实际上我们是利用x+x+1在复数域中有两个不等的复根ε、ε，构造了一个系数行列式为范德蒙行列式的方程组，从而确定该方程组只有零解。这道例题的形式和我们要证明的题形式有些相似，我们也可以通过构造系数行列式为范德蒙行列式的方程组，使问题得到解决。
方法4：证明：若a=0，则结论是显然成立的.于是可设g（x）=x-a，a≠0 ，它在复数域中的n个根分别为α，α，…，α.
又因为
（g′（x），g（x））=（nx，x-a）=1，
所以α，α，…，α是n个不相等的非零数.
再设F（x）=f（x）x，
从而α，α，…，α也是F（x）n个不相等根.
于是
F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0……F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0
即
1 α α… α1 α α… α… … … … …1 αα … α）f（a）f（a）…f（a）=0
因此f（a）=f（a）=…=f（a）=0，从而有（x-a）|f（x），i=0，1，2，…，n-1.
参考文献：
［1］郭聿琦，岑嘉平，徐贵桐.线性代数导引［M］.科学出版社.
［2］北京大学几何代数教研室.高等代数［M］.高等教育出版社.
［3］赵兴杰.高等代数教学研究［M］.西南师范大学出版社.
（贾松芳为通讯作者）
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