递推数列1,3,4,7,11【递推数列关系式六种变形法】

　　解决递推数列问题的基本思路是，通过恰当变形，将一般数列问题，转化成等差数列或等比数列予以解决。　　一、同加（减）法。即在递推关系式两边同时加上(减去)适当的数或式子。
　　例1 数列中，，，求。
　　解：在两边同时加上，
　　得，
　　于是，
　　即，
　　两边同时减2得
　　所以，
　　二、同乘（除）法。即在递推关系式两边同时乘以(除以)适当的数或式子。
　　例2 在数列中，（为正整数），求。
　　解：在两边同乘以，得
　　整理得：
　　三、迭代法。即反复使用递推关系式找到与初始条件的关系。
　　例3 设数列满足，，其中为实数。
　　（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；
　　（2）设，证明：。
　　证明：(1)必要性：
　　充分性：
　　设，对用数学归纳法证明。
　　当时，。
　　假设，
　　则，且
　　由数学归纳法知对所有成立。
　　 (2) 设，当时，，结论成立。
　　当时，
　　，由（1）知，
　　所以且，
　　四、取倒数法。即通过将递推关系式两边同时取倒数。
　　例4 已知数列的首项，，．求的通项公式。
　　解：，
　　是以为首项，为公比的等比数列，
　　五、取对数法。即通过将递推关系式两边同时取对数。
　　例5 已知数列中，，求。
　　解：由得：
　　两边取常用对数得：
　　进而求得：
　　六、类比法。即根据递推关系式类比一个式子，再将条件中递推关系式与类比的递推关系式进行相除或相减。
　　例6 数列中，，，其中，数列满足，求数列的通项公式。
　　解：由得：（1）
　　类似地，（2）
　　整理得：，故于是：
　　例7 数列中，，为常数，
　　求证：
　　证明：类比（1）
　　得：（2）
　　得：
　　整理得：
　　所以数列为常数列，
　　所以
　　责任编辑李婷婷