摘 要: 在数列的教学过程中,本文作者发现有几类问题是学生的误区,极易造成错解,从而大大影响了解题的正确性。作者对易错点进行了归纳与剖析。 关键词: 数列问题 易错点 剖析
数列是刻画离散现象的数学模型,我们在日常生活中会遇到很多问题需要用数列模型去解决。数列是高中数学的重要内容,数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命题者的青睐。而在数列的教学过程中,我发现有几类问题是学生的误区,极易造成错解,而大大影响了考试的准确性,现将易错点归纳如下,并加以剖析。
一、不能正确理解等差数列的性质
【易错点解读】在等差数列中{a},若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则a+a=a+a,在解题中会误认为a=a+a。
例题:设{a}是等差数列,a=q,a=p,p≠q,试求a。
错解:∵{a}是等差数列,
∴a=a+a=p+q。
分析:错误的原因是不能正确理解等差数列的性质。
正解1:设公差为d,则a=a+(p-q)d,
∴d===-1,
∴a=a+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0。
正解2:∵a=a+(p-1)d,a=a+(q-1)d,
∴a+(p-1)d=q①a+(q-1)d=p②,
①-②得(p-q)d=q-p,
∵p≠q,∴d=-1,
代入①,有a+(p-1)×(-1)=q,
∴a=p+q-1,
故a=a+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)×(-1)=0。
二、错用等差数列前n项和的性质
【易错点解读】等差数列{a}的前m项和S,与S-S,S-S成等差数列,但在解题中常常误认为S,S,S成等差数列而导致解题出错。
例题:设等差数列{a}的前n项和为S,已知=,求
错解:令S=k,S=3k,则S=k,S=7k,
∴==
分析:因为本题中数列{a}为等差数列,所以S,S-S,S-S,S-S成等差数列,而并非S,S,S,S成等差数列。
正解:令S=k,S=3k,故S-S=2k。
∴S-S=3k,即S=6k,
S-S=4k,即S=10k,
∴==。
三、利用数列前n项和S求通项a时,忽略条件n≥2
【易错点解读】利用a=S-S(n≥2)求通项时,对于a需要进行验证说明,若符合a的表达式,可利用一个表达式表示;若不符合,则需要用两个表达式分段表示,而在解题中常常忽略条件n≥2而不检验a是否符合a的式子,从而出错。
例题:已知数列{a},a=1,S=n-2n+1,求a。
错解:∵a=S-S
=n-2n+1-(n-1)+2(n-1)-1
=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1
=2n-3
∴a=2n-3(n∈N)
分析:题中所用关系式a=S-S,只有当n≥2时才成立,错解中忽略了这个条件,所以出错。
正解:a=S-S(n≥2)
=n-2n+1-(n-1)+2(n-1)-1
=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1
=2n-3
当n=1时,a=1不满足上式,
∴a=1(n=1)2n-3(n≥2)
四、忽略公比的取值范围
【易错点解读】在解题的过程中往往会由于设法不当无形中限制了q的范围,从而使解题出错。
例题:已知一个等比数列的前四项之积为,第二、三项的和为,求这个等比数列的公比。
错解:设这四个数分别为,,aq,aq,
则a=①+aq=②,
由①得a=±,代入②得q±2q+1=0,
解得q=±1或q=-±1。
∴所求等比数列的公比为q=3+2或3-2。
分析:从表面上看,这种解法正确无误,但认真检查整个解题过程后发现,由于设这四个数分别为,,aq,aq公比为q就等于规定了这个等比数列中的各项要么同为正,要么同为负,而此题中无此规定,错误就出现在这里。
正解:设这个等比数列的前四项分别为a,aq,aq,aq,
则aq=aq+aq=,
解得q=3±,或q=-5±2。
五、忽略题中的隐含条件
【易错点解读】在利用a=S-S求通项公式时,往往容易忽略它成立的前提条件为n≥2,这时应检查n=1时是否满足此通项公式,否则应写成分段函数形式。
例题:已知数列{a}的前n项和为S=3n+n+1,求此数列的通项a。
错解:a=S-S=3n+n+1-[3(n-1)+(n-1)+1]=6n-2。
分析:忽略了使用a=S-S的条件是n≥2,没有检验n=1时是否成立。
正解:∵a=S-S=6n-2(n≥2),
当n=1时,a=S=5,不符合上式,
∴a=5,n=16n-2,n≥2。
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