摘 要：局部换元是换元法中的一种最常用的方法，是在已知或者未知中，某个代数式多次出现，而用一个变量来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现． 在高中数学关于求解某些函数的解析式、最值、值域等问题时，也经常用到局部换元法．
关键词：函数；换元法；转化；局部换元法
局部换元法又称整体换元法，是换元法中的一种最常用方法，解题时把已知或者未知中某个多次出现的式子看做一个整体，用一个变量去代替它，当然有时候要通过变形才能发现．
既然局部换元是一种换元方法，那么它的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，使得复杂问题简单化． 比如，当朋友弄不明白你的说话意思时，你会来一个“换句话说”，就是保留原意而改变表述形式的意思．在处理数学问题时，往往需要若干次的“换句话说”才能把原来的问题化难为易、化繁为简或化生为熟．
那么在高中数学的函数问题中，有哪些题型可以用局部换元法呢？笔者简单归纳如下：
1． 函数F（f（x））=g（x）
形如F（f（x））=g（x），我们通常是令t=f（x），再用t来表示x，得到x=h（t），最后将t=f（x）和x=h（t）代入F（f（x））=g（x）中就达到了换元的目的，得到F（x）的解析式．
例1 已知函数f（x3）=lgx（x>0），求f（x）．
解：令t=x3（t>0），则x=，则f（t）=lg=lgt=lgt，故f（x）=lgx（x>0）．
再如已知f（3x+1）=4x+3，求f（4）的值． 我们只需令t=3x+1（t∈R），则x=，则f（t）=4+3=+，故f（4）=+=7．
2． 三角函数f（sinx±cosx，sinxcosx）
形如f（sinx±cosx，sinxcosx）的三角函数，求三角式的最大值和最小值时，我们往往是令题中的sinx+cosx=t，然后两边平方，找出sinx•cosx与t的关系，最后将题中的sinx和cosx转化为关于t的二次函数或一次函数来研究．其中最常用的公式是平方关系式sin2x+cos2x=1．
例2 设a>0，求f（x）=2a（sinx＋cosx）－sinxcosx－2a2的最大值和最小值．
分析：抓住sinx＋cosx与sinxcosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，换元过程中一定要注意新的参数的取值范围（t∈［-，］）与sinx＋cosx的对应关系．
解：设sinx＋cosx=t，则t∈［-，］．
由（sinx＋cosx）2=1＋2sinxcosx，得sinxcosx=，所以f（x）=g（t）=－（t－2a）2＋（a>0），t∈［-，］．
当t=-时，g（t）min=－2a2－2a－；当2a≥时，t=，g（t）max= －2a2＋2a－；当00、例2中t∈［-，］、例3中t∈（2，+∞）、例4中t≥0和例5中0≤t≤1.