摘 要： 本文以《正弦定理的引入、探索、发现与证明》一课教学为例，指出新课程理念下的数学教学是数学活动的教学，是师生之间交往互动与共同发展的过程，其核心是学生动手实践、自主探索、合作交流.数学课堂教学设计的出发点是以学生为本.
关键词： 新课程 以学生为本 数学课堂教学
1.创设情境引入正弦定理
【板书】第一章 解三角形
【引入】同学们请看我们将要学习的本章标题:解三角形.我们知道三角形可分为直角三角形与斜三角形;而直角三角形的边与角的关系在前面已经学习过，故如何解直角三角形我们已经熟悉，下面重点来研究怎样解斜三角形.
提出问题:什么叫解斜三角形?
【教师】类比解方程（求方程中未知数的过程），解斜三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个是边）.求其余三个未知元素的过程.简称：求斜三角形中未知的边和角的过程.
如:根据下列条件解三角形:a=16，b=26，A=30°.
提出问题:如何解决上述问题呢？同学们先回忆以前所学过的有关斜三角形的边和角有哪些重要的结论.
【学生回答】
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°;
2.三角形任意两边的和大于第三边（或三角形任意两边的差小于第三边）；
3.三角形中，较大的边所对的角较大;较大的角所对的边较大.
【教师归纳】由结论（1）可知：已知三角形的两个内角，可以求出第三个内角;而结论（2）、（3）只是定性给出三角形中边、角之间的关系，对于要想求出三角形边和角的准确值（解三角形）作用不大。所以要想直接利用它们解决上述问题还比较困难.因此，我们还要进一步探讨:在任意三角形中，边长和角之间还有什么关系?（由此引入为什么要学习正弦定理）
2.正弦定理的探索、发现与证明
2.1从特殊三角形入手进行观察发现.
【学生活动】
1.让学生观察并测量一个三角板的边长，例如，量得三角板三内角所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm.提出问题:你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗?
结论：=10，≈10，=10.
2.（在任意的直角三角形中探讨）如图1，在Rt△ABC中，你能否发现类似的结论?
根据锐角三角函数定义:sinA=，sinB=，sinC=1=，
所以==.
【教师】对于特殊三角形，我们发现规律==.
提出问题:上述规律，对任意三角形成立吗?
2.2实验，探索规律.
【学生活动】二人合作，先在纸上作一个任意锐角（锐角或钝角）三角形（如图2），测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确.（其中，角精确到分，边精确到0.1cm，结果保留3位有效数字）
2.3得出实验结论.
【学生小结】忽略测量误差，通过实验，对任意三角形，有结论==，即在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
【教师】提出问题:上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验（近似结果）发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理.那么怎样证明呢?
【板书】正弦定理:三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.即
==
2.4研究定理的证明方法.
【教师引导】方法一：通过三角形面积证明.
如图3，由锐角三角函数的定义可得：
△ABC的面积为S=BC•AD=acsinB.
同理S=absinC及S=bcsinA，
所以acsinB=absinC=bcsinA，
所以==.
【教师引导】方法二：向量法.
①若△ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知定理成立.
②若△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量垂直于，则向量与向量的夹角为90°-A，向量与向量的夹角为90°-C（如图4），且有+=，所以•（+）=•，即•+•=•.展开，||||cos90°+||||cos（90°-C）=||||cos（90°-A），则得asinC=csinA，即=.同理，过点C作单位向量垂直于，可得=，故有==.
③若△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°角（如图5），过点A作单位向量垂直于，则向量与向量的夹角为A-90°，向量与向量的夹角为90°-C，且有+=，同样可证得==.
【教师】提出问题:你还能利用其他方法证明吗?请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角、钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等知识，将△ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法.
3.课后反思
3.1新课程倡导在教学中要注重数学知识的来龙去脉，数学知识的形成源于实际的需要和数学内部的需要.从数学内部需要出发引入新的知识，需要让学生经历发现问题、分析问题并探索解决途径，验证并应用所得的结论的全过程，教师切忌和盘端出.本案例，学生通过回忆所学过的有关三角形知识，发现要想解斜三角形，所学的知识还不够，为了解决这一矛盾，还需要进一步研究、探讨任意三角形的边角关系，这样让学生知道我们学习正弦定理主要源于数学内部需要，并为今后进一步利用它解决实际问题所服务.
3.2传统的数学课程内容重结果轻过程，形成结果的生动过程往往被单调机械的条文所取代，所以数学教学中有太多的机械、沉闷和程式化，缺乏生机、乐趣和对好奇心的刺激.于是，学习无需智慧，只要认真听讲和单纯记忆，读书不必深入思考，做题不必诘问创新，排斥了学生数学学习过程中的思考和个性.本案例，通过对特殊三角形（直角三角形）的各边与所对角的正弦值之比寻找规律，进而推广到任意三角形.这种由特殊到一般的猜想属于合情推理，关注合情推理能力地培养学生的创新精神。当然，由合情推理得到的猜想常常需要证明（演绎推理），故又进一步探讨了正弦定理的证明，从而让学生体会到演绎推理和合情推理是既不相同又相辅相成的两种推理形式.
3.3《新课程标准》指出:动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满生命力的过程，学生要有充分的进行数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解决困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法.本案例，在正弦定理的探索、发现过程中，学生通过自己动手实践，自主探索，寻找规律，得出结论.在验证结论时，又通过二人合作完成表格，进一步明确结论.这对于提高学生学习的积极性，改变传统的学习方式，落实新课标的精神起到了积极作用.
3.4数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程.首先，数学活动就是学生经历数学化过程的活动，数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动.简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量，数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动，数学化是指学习者从自己的数学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论的过程.其次，数学活动又是学生自己建构数学知识的活动.从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，学生与教材（文本）及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质.每位数学教师都必须深刻认识到，是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，而不是模仿者.无论教师的教还是学生的学，都要在学生那里得到充分体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教学，不会有好的效果.
参考文献：
［1］数学课程标准解读（实验稿）.教育部基础教育司.
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