数学思想和方法在中学数学的教与学中占有非常重要的位置,其中整体方法之巧妙、简捷让人爱不释手。 使用整体方法必须胸怀全局，布局讲究“大模样”，要懂得“丢卒保车”、“弃子保帅”。还必须紧盯目标进行分析研究，找到简捷有效的解决问题的方法。
我们以下通过对几个问题的分析，体会整体方法在代数解题中的应用。
问题1对于实数x,y,定义新运算x×y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算。已知3×5=15,4×7=28,那么1×1=[CD#4]。
很明显，这里的新运算“×”已经不是想象中的乘法运算了，我们不妨从定义下手，根据两个特殊的运算结果，我们可以得到：
3×5=3a+5b+c,①
4×7=4a+7b+c。②
如果将①②组成一个方程组，能否确定常数a,b,c呢？由于方程组中有三个待定的常数，而只有两个方程，我们不能完全确定a、b、c的值，不过，我们最终的目标是求1×1等于多少，由定义知：1×1＝a+b+c,问题就转化为求a+b+c的值。
经分析可知，只需将①×3－②×2，即可得到a+b+c＝3×15－2×28＝－11，因此，1×1＝－11。
在上述问题中，我们不能让思维的惯性继续发挥作用,想当然的认为是个简单的乘法。在解决问题时,不求单个字母a、b、c的具体的值，而是将代数式a+b+c看作一个整体，将其值求出，最终用整体方法使问题得到解决。
问题2若m、n是一元二次方程的两根，那么(m2+1997m+6)(n2+1999n+8)=[CD#4]。
这里m,n分别是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得：m+n=-1998,mn=7。
很明显，不能直接得到解决，我们仔细观察一下，目标式子里含有m2+1997m+6和n2+1999n+8，这与方程左边的代数式非常接近，因此可将其进行转化：
m2+1997m+6=(m2+1998m+7)+(-m-1);
n2+1999n+8=(n2+1998n+7)+(n+1)。
而由根的定义，所以m2+1998m+7=0，n2+1998n+7=0,所以
（m2+1997m+6）（n2+1999n+8）＝(-m-1)(n+1)＝-mn-m-n-1=-mn-(m+n)-1
＝－7－（－1998）－1＝1990。
在问题2中，我们充分利用根的定义，将m2+1998m+7和n2+1998n+7分别看作整体，从而将目标式子进行合理转化，最终再利用根与系数的关系达到我们的目标。本问题的解决体现了整体方法的简捷但隐秘的特点。
问题3直角三角形的周长为30cm，斜边长13cm，则这个三角形的面积为[CD#6]。
我们可设斜边为c，两条直角边分别为a、b，则a+b+c=30,c=13。可得a+b=17。要想分别求出a、b的值，需要利用勾股定理和解一元二次方程的知识。我们不妨再回头看一下我们的目标，要求的是直角三角形的面积，也就是1[]2ab，我们只需求出ab即可，而没有必要分别求出a、b的值。
由a+b=17得(a+b)2=172,变形为a2+2ab+b2=172,而由勾股定理得a2+b2=c2=132。
因此2ab=172-132,则这个直角三角形的面积为1[]2ab＝30。故填30cm2。
在问题3中,我们首先对已知条件进行分析,看看能得到什么结论,然后我们紧盯目标,将ab作为一个整体，没有分别求出a、b的具体数值，而是一次求出ab的值，体现了整体方法的巧妙。在解题过程中必须注意从局部到整体的过渡,即有利于从局部的解决的此岸,及时顺利到达整体解决的彼岸。
通过以上的三个问题,我们可以看到,整体方法有事半功倍之效,要用好整体方法,充分挖掘已知条件,进行广泛的联想,还需要从整体出发,高瞻远瞩的统帅全局;通过对局部的研究,酝酿总体的解决方案;再回到整体,实现问题的解决。
因此,我们可以说:整体方法,是聪明人的方法。
（作者单位：江苏省赣榆县厉庄高级中学）