摘 要：运用数学知识解决实际问题的能力是新的课程标准中重要的能力要求。有关概率的知识是新的初中教材中才有的新知识。解题中出现难下手、易错的现象。列举解此类问题所需注意的几个方面，从实际问题入手，来帮助学生运用列表法（树状图）解决问题的能力，发展应用概率知识的意识。
关键词：列表法；树状图；分步；概率
学生在学习过程中，对于求一次实验发生的概率，两个参数（事件A发生的结果数和所有可能发生的结果数）很容易确定，概率易求，但是对通过两次或两次以上实验发生的概率问题这两个参数就不易确定了，这时就可考虑利用树状图或列表法来求某事件发生的概率了。
一、利用列表法（或树状图）需要注意的几个问题
1.认识列表法和树状图是数学中常说的列举法（穷举法、枚举法）
列举法求概率需要把机会均等的结果一一列举出来，列表法用于解决两步实验的问题，树状图用于两步及以上的问题。在列举时必须注意结果不重不漏。
2.认识使用列表法和树状图是利用概率的古典定义求概率
对于古典概型E，设它的所有可能结果是n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，则定义事件A的概率为P（A）=■，这个定义叫概率的古典定义。其中，（1）E的所有结果是有限个；（2）E的每个可能结果发生的可能性大小相同。
3.使用列表法和树状图要明确实验的次数，即分步
例如，从5张扑克中任意抽取两张。这个问题可以看成两步完成的实验，也就是，抽取两次每次一张。另外，要弄清楚每次实验或每步有哪些机会均等的结果，在这个例子中第一步有5个结果，第二步有4个结果，可以用列表法（或树状图）来表示。再如，从5张扑克中任意抽取3张。这个问题可以看成3步完成的实验，也就是，抽取3次每次一张。第一步有5个结果，第二步有4个结果，第3次有3个结果，只能用树状图来表示。
4.注意实验是抽取放回实验，还是抽取不放回实验。例如，在一副扑克中，求：（1）任意抽取两张都是黑桃的概率；（2）抽取一张记录，然后放回洗均匀，再抽取一张，两张都是黑桃的概率。其中，（1）是抽取不放回的实验，两次抽取的不可能是同一张扑克。（2）是抽取放回实验，两次抽取的可能是同一张扑克。
二、实际问题中的运用
实际问题1：
有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中的一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁中的任意一个。任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是多少？
分析：在解决此问题时，要弄清实验分两步完成（可以用列表法或树状图），第一步取任意的一把钥匙，有三个结果，分别用a、b、c来表示；第二步取任意的一把锁，有两个结果，分别用A、B来表示。且钥匙a能打开A锁，钥匙b能打开B锁。
列表：
■
从图中可见机会均等的结果有6个，其中钥匙能打开的锁的结果有两个。
所以，P（一把钥匙能打开锁）=■=■
实际问题2：
垃圾可分为有机垃圾、无机垃圾与有害垃圾共三类。为了有效地保护环境，要将日常生活中产生的垃圾进行分类投放。这天，小明把垃圾分装在三个袋中，可他投放时有些粗心，每袋垃圾都放错了位置，请你列出小明投放垃圾的可能情况。
分析：
该实验分三步完成，第一步放有机垃圾，第二步放无机垃圾，第三步放有害垃圾。由于垃圾放进垃圾桶不再取出，所以实验是抽取不放回的实验。
■
实际问题3：
加工厂生产的5件产品中有4件正品，1件次品；乙工厂生产的5件产品中有3件正品，2件次品，从这两个工厂的产品中各任意抽取1件，两件都是正品的概率是多少？
分析：
实验很显然分两步，第一步抽取甲工厂的产品，第二步抽取乙工厂的产品。用A表示合格产品，B表示不合格产品，可列表如图：
■
机会均等的结果共25个，其中两件都是正品的结果有12种。所以，P（两件正品）=■
实际问题4：
有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：
■
①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指分内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率。
参考文献：
［1］魏竹轩，郭俊杰，刘铁峰.工程数学.人民邮电出版社，1995．
［2］盛骤，谢世千，潘承毅.概率论与数理统计.3版.高等教育出版社，2001．
（作者单位 张永刚：山西省沁水县嘉峰初中 田巧艳：山西省沁水县东关小学）
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