在中学阶段,数列常常看作一个离散的函数,可以利用它所分布的连续函数,来解决数列的单调性、最值等问题.在数列中,通过通项公式an求前n项和Sn,及其反问题,常使用an=S1(n=1)
Sn-Sn-1(n>1)这个关系式来解决,基本没有人利用其分布的函数来解决这个问题．
微积分是近现代数学的基础,是高等数学的主要内容及基本工具.近几年,随着高中新课改的不断推进,不仅导数已经成为高中数学的一个重要工具,而且积分的引入,进一步丰富了高中数学内容,为学习高等数学奠定了基础．
细细分析,数列中由an求Sn及由Sn求an这两个过程,感觉非常类似连续函数中求定积分及求导的过程. 但是数列中的an和Sn是否有定积分及求导的关系,带着这个问题,对等差数列及等比数列,做了一些探究,意外地得到了一些有趣的性质．
首先,为了表达简洁,不妨设数列{an}的通项公式an对应的连续函数为a(x),满足a(n)=an(n∈N*);设数列{an}的前n项和Sn对应的连续函数为S(x),满足S(n)=Sn(n∈N*)．
1 等差数列
1.1 例题与方法2
例1 已知数列{an}的通项公式an=2n+1(n∈N*),求前n项和Sn．
正解 由题意可知,数列{an}为首项a1=3,公差为d=2的等差数列,所以
Sn=(a1+an)n2=n2+2n.
方法2 首先a(x)=2x+1(x∈R),则Sn=S(n)=∫n0a(x)dx=n2+n．
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-n(n∈N*),求通项公式an(n∈N*)．
正解 当n=1时,a1=S1=0；当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n-2.
所以 an=2n-2(n∈N*).
方法2 首先S(x)=x2-x,则an=a(n)=S′(n)=2n-1．
1.2 思考与探究
从上面的两个例题,可以看出S(n)≠∫n0a(x)dx,a(n)≠S′(n),数列与微积分之间的关系没有这么简单,二者之间到底有什么关系？受文［2］的启示,数列的通项an及前n项和Sn都可以用一些矩形的面积表示,于是有了下面的一些思考．
思考1 S(n)与∫n0a(x)dx的关系
(1)如下左图,an等于第n个小矩形的面积,所以S(n)就等于前n个小矩形的面积的和；如下右图,由定积分的几何意义可得,∫n0a(x)dx等于前n个梯形的面积的和．
显然图像上的两部分面积对应的值不相等,因此S(n)≠∫n0a(x)dx．
(2)如下图所示,我们将左边的图像往右边平移12个单位,得到面积相同的中间的图像,根据图形的特征,可将每个宽为1的矩形等面积的转化为对应的高为1的梯形的面积,得到了右边的图形中所有的梯形面积,并且可以用定积分∫n+1212a(x)dx表示.因此S(n)=∫n+1212a(x)dx．
事实上,应用上面结果纠正例1的方法2,就可以得到正解,具体如下：
首先a(x)=2x+1(x∈R),则
Sn=S(n)=∫n+1212a(x)dx
=∫n+1212(2x+1)dx=(x2+x)|n+1212=n2+2n.
因此,可以得到：在等差数列{an}中,有S(n)=∫n+1212a(x)dx．
思考2 S′(n)与a(n)的关系
(1)因为an=Sn-Sn-1n-(n-1)为平均变化率,而S′(n)是在x=n处的导数,是瞬时变化率,二者之间一般不相等,因此S′n≠an．
(2)由思考1结论,
S(n)=∫n+1212a(x)dx=∫n0a(x+12)dx,
所以S′(n)=a(n+12),故a(n)=S′(n-12)．
事实上,应用上面结果纠正例2的方法2,就可以得到正解,具体如下：
首先S(x)=x2-x,则an=a(n)=S′(n-12)=2(n-12)-1=2n-2.因此,可以得到：在等差数列{an}中,有a(n)=S′(n-12)．
结合思考1、2得到的结论,得到结论1：
结论1 在等差数列{an}中,通项公式an和前n项和Sn之间有下面的关系：
Sn=S(n)=∫n+1212a(x)dx
=∫n0a(x+12)dx,an=a(n)=S′(n-12)．
2 等比数列
在等比数列{an}中,是否仍有S(n)=∫n+1212a(x)dx=∫n0a(x+12)dx、a(n)=S′(n-12)成立？或者有类似的结果？或许只需要修改一下关系式中的常数12．
2.1 例题与方法2
例3 已知等比数列{an}中an=2n(n∈N*),求Sn．
正解 Sn=a1(1-qn)1-q=2(2n-1)．
方法2 ∫n+1212a(x)dx=2xln 2|n+1212=2 ln 2(2n-1)．
显然在等比数列中S(n)≠∫n+1212a(x)dx=∫n0a(x+12)dx.并且不难验证a(n)≠S′(n-12)．
2.2 思考与探究
能否从图像上找到线索？能否类似于等差数列一样将图像进行平移,使得每个小的矩形的面积转化为曲边梯形的面积？我们试一下：
思考1 S(n)与∫n0a(x)dx的关系
(1)首先我们选取下面左图中的第n个小矩形(如下面右图)
(2)将选中的小矩形往右平移t个单位,得到下面左边的矩形,设矩形两条高与x轴的交点分别为A、B点,得到如右图的由过A、B两点的两条高及曲线y=2x,x轴组成的曲边梯形．
假设曲边梯形的面积等于矩形的面积,即
an=∫n+tn-1+ta(x)dx．
因为an=2n,∫n+tn-1+ta(x)dx=∫n+tn-1+t2xdx=(2xln 2)|n+tn-1+t=ln2(2n+t-2n-1+t)=ln222n+t．
所以2n=ln222n+t,得t=log22ln 2,并且t的值与n无关,因此上面平移的结果对每个小矩形都是成立的．
因此S(n)=∫n+tta(x)dx=∫n0a(x+t)dx,
其中t=log22ln 2．
事实上,应用上面结果纠正例3的方法2,就可以得到正解,具体如下：
首先a(x)=2x,则t=log22ln 2,所以
S(n)=∫n0a(x+t)dx=∫n02x+log22ln 2dx
=2ln 2∫n02xdx=2ln 2ln 2(2n-1)=2(2n-1).
思考2 S′(n)与a(n)的关系
根据思考1的结果S(n)=∫n0a(x+t)dx,不难得到S′(n)=a(n+t),即a(n)=S′(n-t),其中t=log22ln 2为一固定常数,与n无关．
事实上,不难验证思考1、2的结论具有下面的一般性．
结论2 在等比数列{an}中,当q>0,q≠1时,令t=logqq(q-1)ln q,通项公式an和前n项和Sn之间有下面的关系：
Sn=S(n)=∫n0a(x+t)dx,an=a(n)=S′(n-t).
注 “q>0,q≠1”这个条件是为了保证a(x)为连续的函数,可以作为被积函数进行定积分运算．
上面只是对常见的等差数列及等比数列的通项公式an和前n项和Sn之间的微积分关系进行了简单的探究,这些结果能否推广到一般的数列中来代替an=S1(n=1)
Sn-Sn-1(n>1)这个关系式？这个问题还需要进一步探究．