摘 要:功的计算在高中物理中占有十分重要的地位。中学阶段所学的功的计算公式W=FScosα只能用于恒力做功情况,而对于变力做功则没有一个固定公式可用。因此,学生在遇到变力做功这类问题时常常感到为难。
关键词:功的计算 方法
应用做功公式W=Fscosα来解题时,公式中的F只能是恒力,如果F是变力,就不能直接用公式W=Fscosα来求变力做功,此时可以根据题中给出的条件,进行适当变换处理。现结合几例,现就中学阶段出现的变力做功问题进行归类例析,以期达到抛砖引玉之功效。
一、等值转化法
等值转化就是设法将变力做功转化为恒力做功,即应用公式W=Fs・cosα求解,从而使问题化难为易。
例1.如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F(恒定),滑块沿水平面由A点前进S至B点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解:设绳对物体的拉力为T,显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变,所以F做的功可以用公式W=Fscosα直接计算。由图1可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为:
■
△S=S1-S2=■-■
WT=WF=F・△S=Fh(■-■)
二、微元法
当物体在变力作用下作曲线运动时,若力与物体(受力点)运动的方向(切线)的夹角不变,力的方向与物体的位移方向同步变化,可用微元法将曲线分为无限个元段,每一元段可变为沿恒力方向的直线位移,先求力在这一小元段所做的功,总功即为各个小元段做功的代数和。
例2.如图2所示,质量为m的质点在力F的作用下沿半径为R的圆运动一周。若F的大小不变,方向始终与圆相切(与速度方向相同),则该质点在运动一周的过程中,F做的功W。
分析与解:质点在沿圆弧运动一周的过程中,F的方向时刻与速度方向相同,F做功并不为零,可利用“微元法”,将圆弧分割成许多极度短的小圆弧(微元)Δs1、Δs2、Δs3…Δsn,则每一段极短的弧都可视为一条极短的直线且与速度方向一致,则质点运动一周,F做的功可以看成在每一小段上做的功的代数和,即:W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…+FΔsn=F(Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn)=F×2πR=2πFR
三、平均力法
如果力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时,可用力的算术平均值(恒力)代替变力,利用功的定义式W=Fscosa求功。
例3.把长为L的直立木桩打入泥土中,初始时,木桩下端在泥土表面,若木桩在泥土中遇到的阻力与木桩进入泥土中的深度成正比,比例系数为k,则将木桩全部打入泥土中,需要克服阻力做多少功?
分析与解:木桩进入泥土中的时,受到的阻力大小F阻=kL,因为阻力与位移成线性关系,采用“平均值法”来求出平均阻力:
F阻=■=■克服阻力做的功为:W克=F阻L=■
四、利用图象法求变力做功法
如果力F随位移的变化关系明确,始末位置清楚,可在平面直角坐标系内画出F-x图象,图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例4.某人从井口匀速提水,水面距井口h=10m,水和桶共重200N,提桶的绳子长10m,重20N,求提上一桶水人做多少功?
分析与解:在提水的过程中,人的拉力是变力,属于变力做功问题,虽不能直接用W=Fscosα,但可转化为F-s图线进行计算,开始提桶时,拉力大小等于桶重和全绳重220N,随着桶的上升,拉力减少,拉力F与绳上升的位移s的关系是F=220-2s,作出图线,如图3所示,图线与坐标轴包围的面积值就是人做功的数值,所以人做功:
■
W=2.1×103J
五、用动能定理求变力做功法
在某些问题中,由于力F大小或方向的变化,导致无法直接由W=Fscosα求变力F做功的值。此时,我们可由其做功的结果――动能的变化来求变力F的功:W=ΔEk。
例5.如图4所示,一质量为m的小球,用长为L的轻绳悬挂在O点,小球在水平拉力F的作用下,从平衡位置A点缓慢地移到B点,求力F所做的功。
■
分析与解:小球从A点拉到B点时,受重力,绳子的拉力和水平拉力F,由受力分析知F=mgtanθ,随θ的增大,F也增大,故F是变力,因此不能直接用W=Fscosα公式。
从A缓慢拉到B,由动能定理得:
WF=WG=EK+EP
因为小球缓慢移动,速度可视为零,即:WF=WG=mgL(1-cosθ)
六、用功能原理求变力做功法
功能原理的内容是:系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)所做的功的代数和等于系统的机械能的增量,如果这些力中只有一个变力做功,且其他力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时,就可用功能原理求解变力所做的功。
例6.质量为2千克的均匀链条长为2米,自然堆放在光滑的水平面上,用力F竖直向上匀速提起此链条,已知提起链条的速度v=6m/s,求该链条全部被提起时拉力F所做的功。
分析与解:链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升,故作用在链条上的拉力是变力,不能直接用功的公式求功。根据功能原理,上提过程拉力F做的功等于机械能的增量,故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时,动能没有变化,重心升高了■=1米,故机械能动变化量为:
ΔE=mg■=2×10×1=20(J)
根据功能原理力F所做的功为:W=20J
七、用机械能守恒定律求变力做功法
我们知道,物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时,所研究的系统的机械能守恒.如果重力和弹力中有一个力是变力,这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解。
例7.一条长链的长度为a,置于足够高的光滑桌面上,如图5示。链的下垂部分长度为b,并由静止开始从桌上滑下,问:当链的最后一节离开桌面时,链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?
■
分析与解:长链在下落过程中,下垂部分不断增长,因此,该部分的质量也在不断增大,即这部分所受的重力是变力,整个长链的运动也是在该变力作用下的运动,是变力做功问题。
取桌面为零势能面,设整个链条质量为m,桌面高度为h,下垂部分质量为m0.则有
■=■,m0=■m
开始下滑时链条的初动能Ek1=0,
初势能Ep1=-m0g■=-mg■,
机械能E1=Ek1+Ep1=-■mg.
设链条全部离开桌面的瞬时速度为v,此时链条的势能Ep2=-■mg,动能Ek2= ■mv2,
机械能E2=■mv2-■mg,
根据机械能守恒定律有E1=E2,即
-■mg=■mv2-■mg,
解得v=■
因此,在这一过程中重力所做的功为
WG=ΔEk=■mv2-0=■
在上述实例中,从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题。在教学中,通过对变力做功问题的归类讨论,有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力,有利于培养学生的创造性思维,开阔学生解题的思路。
作者单位:湖南省保靖民族中学
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文