摘 要： 离心率在圆锥曲线问题中有着重要的应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，围绕求圆锥曲线离心率的有关问题在近几年的高考题中屡次出现，本文结合高考试题和各类模拟试题来阐述解决这类问题的一些方法。文中共介绍了五种求圆锥曲线的方法。
关键词： 圆锥曲线 离心率 求解方法
离心率在圆锥曲线问题中有着重要的应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，围绕求圆锥曲线离心率的有关问题在近几年的高考题中屡次出现，不少学生对这类问题都感到束手无策，本文结合高考试题和各类模拟试题来阐述解决这类问题的一些方法.
一、利用曲线的基本量
根据题目本身的条件，得到参数a、c的关系，从而求出离心率e.
例1．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为 .（南京市2009年高三第一次调研测试）
解析：如图1所示，因为直线AB的斜率是1，所以可设A点的坐标是（-a，0），B点的坐标是（0，a），此时由于M点是线段AB的中点，故M点的坐标为（-，），又因为M点落在椭圆上，所以可将M点的坐标代入椭圆方程可得+=1，所以a=3b=3（a-c）?圯2a=3c?圯e=?圯e=.
这一类型的题目要根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系，得到关于a、c的二次齐次式，进而得到关于e的一元二次方程，从而解得离心率e.
例2．如图2，在平面直角坐标系xoy中，A，A，B，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.（2009年江苏省高考题）
解析：设A（-a，0），B（0，-b），B（0，b），F（c，0）
∵直线AB为+=1，即为bx-ay+ab=0
∵直线FB为+=1，即为bx-cy-bc=0
将直线AB和直线FB方程联立起来，可得到点T的坐标为（，）
又M点为线段OT的中点
∴M的坐标为（，）
又M点落在椭圆上
∴+=1
∴c-3a+10ac=0
∴e+10e-3=0
∴e=2-5
二、利用曲线本身的范围
例3．以+=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 .（南通市2009年度第一学期高三期末调研测试）
解析：如图3所示，椭圆的左准线的方程是x=，而以F点为圆心，以c为半径的圆与椭圆的左准线交于两个不同的点，所以有-c＜c?圯a-c＜c?圯a＜2c?圯＞?圯e＞?圯＜e＜1.
三、利用向量
新教材引用向量知识后，无疑给解决解析几何问题提供了广阔的视野，利用向量可以解决含有垂直和共线等知识点的离心率求解问题.
例4．过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交与M，N两点，以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.（2005年浙江省高考题）
解析：如图4所示，由于MN为圆F的直径，所以∠MAN=90°，又F（-c，0）
∴M（-c，），N（-c，-），A（a，0）
∴=（a+c，-），=（a+c，）
∴•=（a+c）-=0
可化简为e-e-2=0
∴e=2
四、结合参数
有些求离心率的问题，如果题设条件中含有参数，同时参数的取值范围已知或易求解，首先找出离心率和参数的关系，进而求出离心率的取值范围.
例5．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，其半焦距为c，圆M的方程是（x-）+y=c.
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：为定值.
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠FQF=，求椭圆的离心率.（无锡2009年模拟卷）
解析：（1）设P（x，y），则PF=，PF=
∵====4
∴=2
（2）由（1）可得=2，设QF=m，则QF=2m（m＞0）
∴cos∠FQF===
∴44m=80m-64c ∴c=m∴m=c
又∵2m+m=3m=2a∴4c=2a ∴e=
四、利用平面几何图形
利用图形的直观性往往给我们提供了明显的数量关系，以形助数可使问题变得简单，易于求解.
例6．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行，求椭圆的离心率.（苏北四市2009学年高三期末考试卷）
解析：因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为45°，即∠FAO=45°，所以b=c，所以e=.
五、利用重要不等式
例7．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上总存在一点P，使得PF⊥PF，其中F、F是椭圆的焦点，则该椭圆离心率的范围是.
解析：因为PF⊥PF，所以PF+PF=FF=4c
又∵PF+PF=2a，∴PF+PF+2PF•PF=4a
∴2PF•PF=4a-4c，
又PF•PF≤（）=a
∴4a-4c≤2a，∴e≥
又0＜e＜1，∴≤e＜1.
结论：圆锥曲线的离心率是解析几何的重点知识，是高考考查的热点，命题的知识背景较多，如以考查圆锥曲线三参数关系，以及几何性质为目的，或以平面几何知识为主考查，或以平面向量的知识为背景进行考查，关于离心率取值范围问题，往往要建立不等式模型来解决，体现了较强的综合性，同时还重点地考查了方程的思想、不等式的思想、转化的思想等重要的数学思想，因此是高考命题者历年关注的热点问题.
参考文献：
［１］有关求圆锥曲线离心率问题的策略.河北理科教学研究，2006，（4）.
［2］求解圆锥曲线离心率的常用方法.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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