摘 要： 共振干涉法测量空气中超声波声速时，声波形成了纵驻波。由于纵波比较抽象，物理教材通常以横波为例来介绍机械波的一些基本性质，对纵波的介绍较少，导致学生对纵波的认识远远不及横波。本文利用相对形变这个物理量，基于驻波波函数，指出纵驻波密部和疏部的位置和质元密度随时间的变化情况，以加深学生对纵驻波的认识。
关键词： 纵驻波 密部 疏部 相对形变
1.引言
空气中声速的测量以其实际应用和易于实现的特点，被许多高校选作基础物理实验测量。空气中声速有多种测量方法，其中之一为共振干涉法，即驻波法。超声波发射探头发出的声波以平面波的形式传播，接收探头表面发生反射，两探头间的入射波和反射波相互干涉，当两探头的间距满足半波长的整数倍时，出现驻波共振现象，接收探头表面为驻波波节，声压最大，压电探头输出的电信号最大［１］。根据振动方向和传播方向的关系，波可分为横波和纵波。横波的传播方向垂直于振动方向，而纵波的传播方向与振动方向平行。横波传播时，介质中交替出现波峰和波谷；纵波传播时，介质中则交替出现密部和疏部。声波是纵波，驻波法测声速实验中，声波形成了纵驻波。由于纵波比较抽象，物理教材通常以横波为例来介绍机械波的一些基本性质［2］，对纵波的介绍较少，导致学生对纵波的认识远远不及横波。想要确定纵驻波密部和疏部所处的位置，最基本的办法是根据驻波波函数，选定时刻和若干点，作出位移图和波形图判断。本文利用相对形变来讨论。
2.关于纵驻波的讨论
2.1驻波
设声源在坐标轴的原点，由声源发出的平面简谐波沿轴正向传播，经一理想平面反射沿轴负方向传播，入射波方程为：
y=Acos2πf（t-）（1）
不考虑能量的吸收，反射波方程为：
y=Acos2πf（t+）（2）
其中为振幅，为频率，为波速。表示质元没有振动时的位置，也是该质元振动的平衡位置，表示相对平衡位置的位移。两波相遇处，合成声波为：
Ｙ＝y+y=（2Acos2π）cos2πft（3）
其中λ为波长，满足u=λf。上式表明，两波合成的结果是驻波。两波相遇处各点都在作同频率的振动，而各点的振幅（2Acos2π）是位置的余弦函数，对应于|cos2π|=1，即：
x=±k，（k=0,1,2，……）（4）
振辐最大，为1，称为波腹。对应于|cos2π|=0，即：
x=±（2k+1），（k=0，1，2，……）（5）
振辐最小，为0，称为波节。其余各点的振辐在0和最大值之间，相邻的波腹（或波节）间的距离均为。
2.2相对形变
纵波在传播过程中，介质受到压缩和拉伸，相邻的两个质元，纵波没有传到时，都处于平衡位置，相距x-x，在振动过程中相距y+x-（y+x），则两个质元间的形变量为［y+x-（y+x）］-（x-x）=y-y，定义相对形变为，即形变量与两质元间距的比值。对于连续介质，相邻的两个质元无限接近，即x-x趋于零。因此：
=（6）
介质受压区域，形变记为负值，则相对形变小于0；介质受拉区域，形变记为正值，相对形变大于0。
2.3纵驻波的密部和疏部
利用相对形变可以讨论纵驻波疏部和密部的位置。对式（3）求导，得到纵驻波的相对形变为：
=-（sin2π）cos2πft（7）
对式（3）求时间变化率，得到质元振动速度为：
=-（4Aπfcos2π）sin2πft（8）
把式（4）代入式（7）可知，波腹相对形变为0。把式（5）代入式（7）和式（8）可知，当cos2πft=0时，各质元的相对形变均为0，弹性媒质处于自由状态下，各质元均匀分布，相互作用力为零，介质没有压缩和拉伸，各质元速度最大。当cos2πft>0时，在x=（4k+1）处，相对形变小于0，波节为质元被拉伸得最厉害的地方，即疏部。在x=（4k+3）处，相对形变大于0，波节为质元被压缩最厉害的地方，即密部。可见，波节处交替为密部和疏部。随着cos2πft增大，疏部被拉伸得越来越大，质元密度减少，密部被压缩得越来越小，质元密度增大，各质元均向密部运动（如图1）。当cos2πft=1时，疏部质元密度最小，密部质元密度最大，各质元速度为0。随着cos2πft减少，疏部收缩，质元密度增大，密部质元密度减少，各质元均向疏部运动（如图2）。当cos2πft=0时，弹性媒质又处于自由状态下，各质元没有压缩和拉伸，质元速度最大。当cos2πft由正值变为负值，各质元仍然向原先疏部运动，原先疏部变为密部，原先密部变为疏部，仍然交替出现在波节处。
对比一下纵波与纵驻波密部和疏部的异同。纵波的疏部和密部不同于横波的波峰和波谷，而是与横波的平衡位置处类似，处于平衡位置［３－４］；密部和疏部是媒质的质元被压缩和拉伸得最厉害的地方，也就是质元形变最大的地方，势能最大。这些是二者相同的地方。纵驻波波节处没有振动，动能始终为0。纵波平衡位置处，振动速度最大，动能最大［2－3］。纵波密部和疏部随着波动的传播，出现在介质的不同位置，纵驻波密部和疏部在介质的位置确定，交替出现在波节处。这些是二者不相同的地方。
3.结语
教师根据学生具有的知识背景，介绍相对形变及对于连续介质的计算公式，利用相对形变和驻波的波函数，可以使学生比较容易理解纵驻波的密部和疏部的位置及变化特征、纵波与纵驻波密部和疏部的异同。对照不同时刻的波形图讲解，学生更容易理解。教师还可以利用相对形变这一有力工具，讨论其它纵波问题，加深学生对纵波的认识。
参考文献：
［1］赵维义.大学物理实验教程［M］.北京：清华大学出版社，2007：139-144.
［2］马文蔚，周雨青.物理学教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006：145-157.
［3］杨桂巧.纵波特性浅析［J］.西安教育学院学报，2001，16（3）：46-47.
［4］吴开亮，项林川.关于纵波的波峰和波谷的探讨［J］.物理与工程，2010，20（3）：9-10.
防灾科技学院教研教改项目（编号：201035）
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