解析几何问题是高考考查的热点，由于计算量大，不难发现学生对此部分内容的学习是困惑点。在圆锥曲线这一章节的教学和高考复习中，要强调识图、作图能力，以及相关量的几何意义和关系。学生即使能轻松地作出对应方程的圆锥曲线，也未必能高效、准确地解决题目所设置的问题的完整答案。通常可采取特殊的点与方程，即特殊法，也可采取一般的推理办法。本文就一个定值问题，采用特殊法和一般法证明得解。
引例：已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过其右支上异于顶点的一点P作双曲线的切线l，再过原点o作直线m平行于l交PF于M，求证：|MP|为一个定值.
分析一：通过阅读完此题后，首先在头脑里面可以反应出相关量及图形特征（见下），且是一个一般结论的问题，但如何迅速准确地解答此题，首先想到的是特殊值法，解答如下。
解决方法一：特殊值法
（一）特殊优先法：由题目“过其右支上异于顶点的一点P作双曲线的切线l”，特别地我们取点P刚好在顶点处，不难发现|MP|就为定值长a。
分析二：前面已经分析得出，此题是一个一般结论的问题，对于以上解答似乎一定正确？那么能不能从一般推理的角度来得出答案，使其显得更有说服力和公信力呢？见以下证明方法进行对方法一的验证。
解决方法二：一般的推理法（图形见下）
（一）由解析几何与光学原理，我们不难发现以下几个角平分线定理。
定理1：在椭圆曲面中，经过其中一个焦点的光源射出的光线经椭圆内凹面反射后汇聚到另一个焦点。且过反射点的切面为入射光线与反射光线的反射面。在平面图形中，有椭圆上一点的切线和两焦点与切点的连线的夹角相等。
定理2：从抛物凹面的焦点射出的光线，经过抛物凹面反射后的光线互相平行。在平面图形中，有抛物线上一切点与焦点的连线与过切点且平行于对称轴的直线，都和切线的夹角相等。
定理3：从双曲凹面的一个焦点射出的光线，经过双曲凹面反射后的光线的反向延长线过另一个焦点。在平面图形中，有双曲线上一切点与两焦点的连线和切线的夹角相等。
分析：从而由定理3有：切线PQ平分∠FPR.由角平分线定理：=，利用比值关系得解.
（二）证明：设QF=m，QR=n，且m+n=2c，PF=a+ex，PR=-a+ex.
由角平分线定理：=，所以有=.
即有ex====，又因为OM∥PQ，得ON=MP.
所以=?圯=?圯PM=（a+ex）=（a+）=・=a.
从而得证PM=a.
解决方法三：高等数学方法求解
根据题意，设切点P（x，y），则-=1 ①
（一）知识准备：
（1）由双曲线的右焦半径公式得|PF|=|a+ex|=a+ex
如图作辅助线ON，使得ON∥FP，可得到△OQN∽△FQP.
则= ②
又因为OM∥PN，四边形ONPM为平行四边形，则ON=MP.
（2）由二阶导数，对y求x的偏导数，即可得到过p（x，y）切线的斜率函数y′
（-）′=0?圳-=0，
从而过双曲线上异于顶点的点的切线的斜率函数为y′=f（x，y）=・.
∴k=・，所以可得切线PQ的方程：y-y=・（x-x）.
（二）问题计算
（3）令y=0，即可求得点Q的横坐标：x=x-・，即|OQ|=x-・，
从而|FQ|=|FO|+|OQ|=c+x-・.
由②得= ③
由①③联立解得|MP|==，
此时由x→+∞，取极限得到|MP|==a，问题得证.
对以上的几种解法进行比较：其解答过程思路大体一致、所得答案相同，两种方法可谓殊途同归。方法一符合新课程改革中提出的由特殊到一般的数学方法，没必要质疑解法一的准确性。可看出方法二的解答过程充分运用高中所学知识。方法三涵盖了高中数学五个重要方面的问题，具体有：（1）运用导数求切线斜率的问题；（2）图形相似比例关系问题；（3）直线的方程；（4）焦半径公式的运用；（5）极限的思想，此方法是采用高等数学的方法求解，是一种求解的新思路。
把握一定取值技巧后采用方法一可使解题思路简单，且便于学生操作和思考。因此，我们在处理类似此题目时，尤其在选择题目中的压轴题目可采取依据条件的特殊赋值法，从而迅速准确得出题目的答案。对于本文的一般性的推理方法，其过程可作为探讨此类问题的一般性逻辑推理思路，可以提高学生学习的兴趣和知识广度。
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