一般的,在一个函数里,如果只含有绝对值,那么在求最值时,只要把绝对值符号去掉,写成分段函数的形式,然后在每一段上分别求最值,再把这些最值进行比较,如果是求最小值,则其中最小的即为所求;如果是求最大值,则最大的即为所求。在一个函数里如果含有一个参数,而没有绝对值,只要对字母进行分类讨论,对每一种情况分别求最小值,再总结给出答案即可。
那么当一个函数里既有绝对值,又有字母时,如何求最值呢?我们先看下面的例题。
例1.设a为实数,函数f(x)=2x+(x-a)|x-a|。
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(2)求f(x)的最小值;
(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集。
解析:(1)解答略。
(2)(�)当x≥a时,即在x∈[a,+∞)上,f(x)=3x-2ax+a,
f(x)是对称轴为x=且开口向上的抛物线,所以有以下两种情况:
①a≥0,这时f(x)在[a,+∞)上递增,当x=a的时候取得最小值,所以f(x)的最小值为f(a)=2a
②a0,f(x)在(-∞,a)上递减,当x=a的时取得最小值,所以f(x)的最小值为f(a)=2a。
所以在(-∞,a)上,f(x)=f(-a) a≥0f(a) a0,函数f(x)=x+a|lnx-1|。
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值。
解析:(1)解答略。
(2)①当x≥e时,f(x)=x+alnx-a,f′(x)=2x+(x≥e)。
∴f(x)>0恒成立。∴f(x)在[e,+∞)上增函数。故当x=e时,y=f(e)=e。
②当1≤x 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文