数列的项体现了数列的性质，项是研究数列的基础，通项公式是项的一种重要的表现形式，有了通项公式就可直观、运动地研究数列。下面介绍几种求非等差、等比数列通项的方法。 方案一：构造差比，巧用定义
例1.数列{a }中，a =1，a =2a +3，求a 。
分析：由递推关系式知
a +3=2（a +3）
又a +3=4≠0
∴{a +3}是以a +3=4为首项，公比为2的等比数列
即a +3=（a +3）•2
∴a =2 -3
再如，数列{a }中a =1，a =2a +2 ，求a 。
分析：此题可化为 = +2，则{ }是以 为首项，公差为2的等差数列。
方案二：创造条件，叠加叠乘
例2.在正数{a }中，a =1，（n+1）a-na+a a =0，求a 。
分析：由题知［（n+1）a -na ）］（a +a ）=0
又a ＞0
∴ =
= （1）
= （2）
……
= （n-1）
（1）×（2）×...×（n-1）得 =
又a =1
∴a =
再如：数列a 中，满足a =1，a =a +2 ，求a 。
分析：此题可通过叠加的形式实现。
方案三：待定系数，回归定义
例3.在数列{a }中，a =1，a =2a +1+3n+3 ，求a 。
分析：由题设a +a+b（n+1）+c•3 =2（a +a+bn+c•3 ）
则a =2a +a-b+bn-c•3
∴a-b=1b=3-c=1
∴a=4b=3c=-1
即a +4+3（n+1）-3 =2（a +4+3n-3 ）
又a +4+3-3=5≠0
∴{a +4+3n-3 }是以5为首项，公比为2的等比数列
∴a +4+3n-3 =5×2
∴a =5•2 +3 -3n-4
方案四：运用公式里，注意条件
例4.在数列{a }中，a =1，，a = S ，求a 。
分析：当n=1时，a = ，S =
当n≥2时a = S
∴a -a = a
∴ = ☆
注：☆成立条件为n≥2
∴a =a •（ ） = ×（ ）
综上，a =1n=1 ×（ ）n≥2
方案五：巧用关系，递推迭代
例5.数列{a }中满足a -（α+β）a +αβa =0，α≠β≠0，且a =a =1，求a 。
分析：由题知
①a -αa =β（a -αa ）=β （a -a -3）=…=β （a -αa ）=（1-α）β
②a -βa =α（a -βa ）=α （a -a -3）=…=α （a -βa ）=（1-β）α
①×β-②×α得：
α =
方案六：类比结构，类比结论
例6.在数列{a }中，a =2，a = ，则a = 。
分析：类比函数f（x）=tan（x+ ）= ，而f（x）周期π是 的4倍。
猜测：a 是周期为4的周期数列。
证明：a = = =-
∴a =- =a
∴a =a =2
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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