摘 要：“构造法”作为一种重要的化归手段，是数学中一种富有创造性的思维方法。在数学解题中尤其在证明不等式中有着重要的作用。文章采取了归纳总结的方法，通过构造几种数学模型，即：函数模型、几何图形模型、数列模型、方程模型、向量模型、代数式模型，以中学数学中某些典型为例，探讨了构造法在证明不等式中的应用。最后在总结中提及了构造法在中学数学中的教学价值和以后的努力方向。
关键词：构造 构造法 模型 不等式
1. 引言
近年来，有关不等式证明的题目愈来愈多地出现在各级数学竞赛、高考中，是竞赛、高考中热门话题之一。不等式证明的方法很多，从化简特征上看可分为两大类：一是利用不等式的性质及重要不等式；二是辅助方法，通过变量代换，构造辅助元素（如图形、函数、方程、代数式、反例等）来达到证明的目的。
构造性解题方法（简称构造法）是一个古老而又崭新的科学方法，历史上许多著名的数学家，如欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日、康托等，都曾运用这一方法解决过数学难题。构造法是数学中一种极富技巧性和创造性的解题方法，当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得到实现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题等价转化为与之相关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法本质上属于转化思想的范畴，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性。运用构造法证明不等式，重在“构造”根据由已知条件与要证的结论所提供的信息进行联想、类比，构造数学模型，通过对这个数学模型的研究去实现原问题的解决。本文归纳总结了构造法在证明不等式中的应用，并就构造函数模型、几何图形模型、数列模型、方程模型、代数式模型和向量模型五个方面进行了初步的探讨。
2. 主要内容
2.1构造函数模型
我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。
2.2 构造方程模型
解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点就是它相应方程的解，正是利用它们之间的这种内在联系，可设法构造方程来证明不等式。
例2若{a }是由正数组成的等比数列，S 是它的前n项的和，证明：S ・S ＜S。
分析：联想到二次方程的△=6 -4ac，因此可以试用构造二次方程的办法解决问题。
解：构造一元二次方程S x +2S x+S =0?摇?摇?摇 ①
∵S 是正项数列前n项的和
说明：这里为解决有关数列差的问题，由联想构造出了一个一元二次方程，由于易于判断它的根的性质，从而达到了证明Δ＞0的目的，转而证明了数列问题，这里就是典型的构造法。
2.3 构造几何模型
把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式。
例3正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA＜k 。
用构造法，数形结合，得出此不等式的巧妙证法。
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，有所设条件联想到构造以边长为k的三角形，如下图所示：
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k的正方形。如下图所示：
上面从代数和三角各举了一例。从上面两道例题足以说明：利用几何图形来证明不等式，不仅能使有关问题简捷获解，更重要的是能提供有效的几何直观，以加深对不等式实质的理解。但在用这种方法时应注意：
（1） 构造几何图形不能盲目乱凑，要有正确的思考方法。从上面例子可得出总的思考原则：先寻找题目条件与所求问题中给出的各种式子的几何含义，然后考虑可借用哪些有关的几何概念和性质，在这些基础上进行设计，构造出合适的几何图形。
（2） 此法不是对所有的代数或三角题都适用。因此，这种方法既要用得当，又要解法比较简便。这就要求我们所构造出的几何图形比较简单，切不要故弄玄虚，生硬拼凑出复杂的几何图形来解题。
2.4 构造向量模型
例4设a、b为不相等的正数，求证：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。
分析：利用向量的数量积不等式
|m|・|n|≥|m・n|。
证明：设m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的数量积不等式有|m|・|n|≥|m・n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m与n不是平行向量，故|m|・|n|＞|m・n|，|m| ・|n| ＞|m・n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。
2.5 构造数列模型
例5求证：C+C+…+C＞n・2 。
分析：不等式左边即为2 -1= ，从而联想到等比数列的求和公式，于是
将上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。
3. 总结
构造法证明不等式涉及的内容很广，综合应用了转化函数、方程、数形结合等多种思想方法。其构造的形式也很多样，例如构造复数、构造向量、构造数列、构造反例等也是常遇到的。这也充分体现了构造法在中学数学教学中的教学价值：提高学生对数学模型的敏感性和数学解题能力，培养学生的创造性思维能力和审美能力。
参考文献：
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［4］赵春祥，赵文涛.构造函数解（证）不等式［J］.数学通讯，2000，(17)：17.
［5］张君达.高中数学奥林匹克专题讲座［M］.北京：光明日报出版社，1993：295.
［6］刘桦.精心联想，巧妙构造［J］.中学数学教学，1988，(1)：14.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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