摘 要： 本文讨论了二元函数的连续、偏导、可微三者之间的关系，并通过实例进行了说明. 关键词： 二元函数 连续 偏导 可微 二元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，它们的意义和作用也是相同的，但是二元函数与一元函数也有某些差异.本文通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性三者之间的关系.
一、连续不一定偏导存在，偏导存在也不一定连续
例1.证明函数f（x，y）=在原点的连续性，但偏导数不存在.
证明：由=0=f（0，0），故f（x，y）=在点（0，0）连续.由偏导定义知：==1当△x＞0-1当△x＜0极限不存在.故f（x，y）在点（0，0）关于x的偏导数不存在，同理可证f（x，y）在点（0，0）关于y的偏导数也不存在.
例2.证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不连续.
证明：由偏导定义得：
f（x，y）==0
f（x，y）==0
故f（x，y）在点（0，0）处偏导存在.取y=mx（m≠0），则f（x，y）=f（x，mx）=.
故f（x，y）在点（0，0）处极限不存在，故不连续.
由此两例可知，对于二元函数而言，偏导存在和连续之间没有必然的联系.
二、可微必偏导存在，但偏导存在不一定可微
定理1：若函数z=f（x，y）在P（x，y）可微，则它在该点存在两个偏导数A，B且A=f（x，y）.
证明：设z=f（x，y）在P（x，y）可微，即由定义知：△z=A△x+B△y+o（ρ）其中ρ=，求x的偏导y可视为常量，不妨令△y=0，则ρ=|△x|，有△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=A△x+o（|△x|）
故==A
同理：=B，定理得证.
由此定理可知，可微必偏导存在，但反之不一定成立，如下例.
例3.证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不可微.
证明：由偏导定义得：
f（x，y）==0
f（x，y）==0
故f（x，y）在点（0，0）关于x，y的偏导数都存在.
△z-［f（0，0）△x-f（0，0）△y］=
令△y=△x，则有==
故由可微定义知f（x，y）在点（0，0）不可微.
由此可知，对于二元函数而言，可微必偏导存在，但是偏导存在不一定可微.
三、可微必连续，连续不一定可微
定理2：设函数z=f（x，y）在P（x，y）可微，则函数在该点必连续.
证明：f(x+△x,y+△y)=［f（x，y）+△z］=f（x，y）
定理得证.
由定理2知，可微必连续，但是反之不一定成立，如上例题3.由=0=f（0，0），故f（x，y）在点（0，0）处连续，但是不可微.
推论1：不连续必不可微.
参考文献：
［1］张鸿，门艳红.讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2007，2，（23）.
［2］龚俊新.二元函数的连续偏导可微之间的关系［J］.湖北师范学院学报（自然科学版），2000，（20）：83-85.
［3］杨凯，王焕东.二元函数连续偏导数与可微的关系［J］.沧州师范专科学校学报，2007，（9）：31-32.
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