吴校良，孙 飞，牛英春，田 杨
（1.内蒙古民族大学，内蒙古 通辽 028043；
2.通辽职业学院师范教育系，内蒙古 通辽 028000）
高等代数是数学类专业的一门基础核心课程，该课程对于后继课程的学习有很大的影响。高等代数课程的特点是比较抽象、理论性比较强。传统的高等代数课堂主要以讲授为主，学生参与性较差，不利于学生主动学习、发现问题、勇于思考、合作交流等能力的培养［1-2］。
首先介绍了对分课堂，并以文献［3］中第6章第5节“线性子空间”为例，展示了在对分课堂教学理念下如何进行教学设计、教学实践情况以及教学效果分析，最后对应用对分课堂需要注意的事项进行了说明。
1.1 对分课堂介绍［4-5］对分课堂是复旦大学张学新教授于2014年基于脑科学与学习科学创立的本土教学新模式，其核心理念是将课堂时间对半分，一半给老师讲授，一半给学生讨论，并且将讲授与讨论的时间错开。这种教学模式将传统的讲授式教学、学生自学、小组合作和师生互动等形式结合了起来［2-4］。对分课堂承继传统文化，创新教育理念，构建有效方法，显著增强学生的学习积极性和主动性，提升教学效果。对分课堂自提出之日起就迅速在全国高校及中小学传播开来［2］。通过长期的教学实践，笔者认为高等代数课程教学可以采用对分课堂教学模式，融入对分课堂教学理念。
1.2 对分课堂的基本流程［5-7］见图1。
图1 对分课堂基本流程Fig.1 Basic process of PAD class
1.3 对分课堂教学模式的特点［5，8］（1）对分课堂普适性强，既能用于文科，也能用于理工科；
既能用于理论课，也能用于实践课；
既能用于高等院校，也能用于中小学校；
既能用于小班授课，也能用于大班授课。（2）对分课堂操作简单，容易上手。老师在接受培训后甚至是了解对分的操作流程后就能在自己的课堂上实践。对分课堂可以单独使用，也可以结合线上平台进行使用。（3）对分课堂能显著提升学生学习的主动性，个性得到发展，合作交流能力得到提升。（4）对分课堂在讲授和讨论之间留有一定的时间间隔，利于学生消化吸收，同时为讨论做好充分的准备。（5）“亮考帮”作业是对分课堂的一个特色，是对所学知识的有效梳理，也为开展小组讨论做好准备。其中，“亮”是指学生写出自己能掌握、比较擅长的知识内容，在小组讨论环节在小组内进行展示；
“考”是指针对自己擅长的知识提出一个问题，考考小组同学；
“帮”是指学生没有掌握、存在疑问的内容，在小组讨论中寻求同学帮助。
1.4 高等代数对分课堂环节 根据高等代数课程的特点，建议主要采取隔堂对分的形式，也就是把讲授与讨论错开，把讲授放于一次课的第二小节，把讨论放于下一次课的第一小节。
教师在课堂应当把课程微视频、课件、链接等资料发布到学习通平台，并明确指出教学目标与具体要求，布置好小测验和作业。
（1）课堂讲授：教师讲框架，讲重点，根据学生程度适当留白。（2）内化吸收：阅读教材，完成课堂留白，完成小测验，完成作业，完成“亮考帮”。在此环节，教师要及时查看学习通小测验和作业情况，分析存在的主要问题，并在下次课及时反馈给学生。（3）小组讨论：教师回顾主要内容，学生分组讨论，教师抽查，学生自由发言，教师总结。在此之后，教师可根据实际情况就重点内容安排1~2道题目进行随堂测验。
2.1 教学目标设计 （1）了解线性子空间的概念、生成子空间的概念和相关结论。（2）掌握线性子空间的判别方法，并能求出一些特殊子空间基和维数。（3）了解基的扩充定理的内容及其证明思路。（4）培养学生自主学习、归纳总结、合作共享的意识和能力。（5）培养转化的解题思想与方法。
教学重点：掌握子空间的判别方法。教学难点：不同类型子空间基与维数的求法。
2.2 教学方法设计 采用对分课堂教学模式，即“讲授+内化吸收+讨论”，教师先进行知识的精讲，学生课后内化吸收，完成课后任务，下节课第一节进行小组讨论。
2.3 讲授环节设计 （1）线性子空间的概念与判别方法。首先复习线性空间的概念，并从集合角度比较线性空间P[x]和线性空间P[x]n，从而引出线性子空间的概念。
定义1数域P上的线性空间V的一个非空子集W称为V的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。
对于线性空间V的非空子集W，线性空间V中的两种运算所满足的一些规律在W中自然成立，由此引出线性子空间简化的判别方法。
定理1设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的一个子空间当且仅当W对于V两种运算是封闭的，即① ∀α,β∈W，有α+β∈W；
② ∀α∈W,k∈P，有kα∈W。
对于该定理，教师并不书写详细的证明，留给学生补充。
通过例题巩固判别方法。
例1设A是数域P上的s×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0 的所有解的集合W是线性空间Pn的子空间，称为是齐次线性方程组AX=0 的解空间。并且齐次线性方程组AX=0 的基础解系就是其解空间的一组基，维数为n-r，其中，r是矩阵A的秩。
对于例1，教师从齐次线性方程组解的性质给予解释，详细过程留给学生书写。
（2）生成子空间的概念与性质。
定义2设α1,α2,…,αr是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合所成的集合记为
则它是V的一个子空间，称其为由生成元α1,α2,…,αr生成的子空间。
根据子空间对两种运算的封闭性以及基的判别方法可得：
推论1L(α1,α2,…,αr)是线性空间V的包含α1,α2,…,αr的最小子空间，即如果子空间W包含α1,α2,…,αr，则L(α1,α2,…,αr)⊆W。
推论2线性空间V任何一个有限维子空间W都是生成子空间。
定理2①两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价。②L(α1,α2,…,αr)的维数等于向量组α1,α2,…,αr的秩，而它的一组基就是α1,α2,…,αr的一个极大线性无关组。
对于②，教师引导学生回顾基的定义和极大无关组的定义，通过比较得到结论。
例2在线性空间P3中求子空间L(α1,α2,α3,α4)的基与维数。
通过例2，巩固定理2结论，进一步强化子空间基的求法。教师带领学生回顾极大无关组的求法，完成题目的解答。
（3）基的扩充定理。由子空间的定义可知，子空间的维数不能超过原线性空间的维数，由子空间的基出发，可以得到线性空间的一组基。
定理3设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，α1,α2,…,αm是W的一组基，那么这组向量必可扩充为整个线性空间V的基。也就是说，在V中必定可以找到n-m个向量αm+1,αm+2,…,αn使得α1,…,αm,αm+1,…,αn是V的一组基。
教师首先从逐个添加的角度进行直观的解释说明，再利用数学归纳法给出完整严密的证明。
最后，教师再通过例题巩固本节的重点，突破难点。
例3设。（1）证明W是线性空间P2×2的子空间。（2）求W的基和维数。
分析：（1）利用定理1证明W是子空间（证明留给学生）。（2）利用基的判别方法：W中一组线性无关的向量，且W中每个向量都能被这组向量线性表示。
考虑取出线性空间P2×2的一组基：
则W中每个向量都可以由E11,E12,E21,E22线性表示，
显然E11,E12,E21,E22线性无关，且可以表示W中的每个向量。
思考：这能说明E11,E12,E21,E22是子空间W的一组基吗？如果是，请说明为什么，如果不是，请给出子空间W的一组基。
思考部分的解答留给学生课后作业完成。
（4）总结与布置作业。总结本节主要内容：子空间的概念与判别定理；
生成子空间的概念与性质；
基的扩充定理。
布置课后任务：①通读教材本节内容，补充完整课上的留白，可以到学习通观看课程视频。②完成学习通本节客观题测验（主要针对概念与相关结论）。③完成学习通作业，包括完成“亮考帮”的书写，完成一道子空间的证明，完成课上例3的解答，完成教材课后习题第15题的解答（选做）。
2.4 课后内化吸收环节设计 学生完成教师所布置的任务（阅读教材、补充留白、测验、作业、“亮考帮”）。
2.5 小组讨论环节设计 ①小组讨论：学生按课前分组开展讨论大约20分钟。②全班交流：在小组讨论结束后教师提问2~3 组同学汇报讨论情况或存在的问题，大约5 分钟，再让3~4 名同学自由发言，大约7分钟。对于存在的问题，可以由老师解答，也可以由同学解答，最后老师做总结，大约5分钟。③重点内容随堂测验设计：教师在学习通发放事先准备好的测验题目，学生完成后拍照提交，大约8分钟。
以上是文献［3］中“线性子空间”一节在对分课堂模式下简略的教学设计，具体实践情况及效果如下。
3.1 讲授环节及效果分析 学生参与比较积极，听课率较高。全班41名同学，只有1名同学有注意力不集中的表现。
相比于传统两小节讲授的模式，对分课堂模式下讲授环节只有一小节，学生在心理预期上能接受，压力不大。同时，由于上一小节是小组讨论，学生大脑处于兴奋的状态，不易产生困倦。另外，本节内容难度不大也是原因之一。
3.2 内化吸收环节及效果分析 教师可以通过学习通后台观测到全班学生小测验及作业完成情况。
小测验完成率较高，全班41人，有39名同学按时完成测验，平均成绩为80.5分。由于事先告知小测验不计成绩，所以学生无负担解答，基本能反映出实际水平。
全班41人，全部按时提交作业。作业中证明子空间的题目，按照步骤解答即可，比较容易，完成率较高；
求子空间的基的题目在课堂上老师进行过思路分析，但需要进一步分析整理，难度中档，完成率略有下降；
课后习题第15 题难度偏大，计算量也较大，只有少部分同学进行了解答，完成率较低；
书写“亮考帮”难度不大。由于中低档难度的作业一定是本节的重点内容，极有可能在随堂测验、单元测验中出现类似的题目，而随堂测验、单元测验要计入成绩，所以学生会比较重视。
全班41人，根据需要有15人观看了学习通中部分视频，观看率较低，这与本节内容难度不大有一定的关系。
3.3 讨论环节及效果分析 全班41人，按座位就近分成10组，每组3~5人，除1名学生外其他同学都能参加讨论，状态较好。学生讨论期间，教师教室内走动，适当旁听各小组讨论。教师不主动参与小组讨论的内容，但对于小组的求助要给予适当指导，发现对概念的错误理解要及时指出。
在学生讨论20分钟后，教师提问了2名同学，另有4名同学自由发言。下面分享两位同学发言时师生、生生交流情况：
学生A（教师点名发言）：“我们小组主要通过互相提问复习了子空间的概念和判别方法，并且就小测验和作业内容进行了讨论，解决了一些模糊的认识。现在面向全班提一个我们在讨论中已经解决的问题：在证明子空间的时候是否需要验证这个子集是非空的，如何去验证？”这个问题难度不大，教室安静大约10秒后，就有同学回答：“必须验证，因为定义要求是非空子集，对于如何验证不是空集，这很简单，那就是验证原线性空间的零向量在这个子集中就可以了。”对于这个回答学生A给予了肯定。老师对这个问题又进行了追问：“原线性空间的零向量为什么一定在这个子集中呢？会不会有不在的时候？”全班安静。最后还是学生A进行了回答：“这是因为要证明这个非空子集是子空间，所以子空间也一定有零向量，而由性质可知，原线性空间的零向量和子空间的零向量是相同的。”
学生B（学生自由发言）：“我们小组有一个问题，对于作业中的子空间，能否直接猜出它的维数呢？”老师环视全班，一个同学回答：“我知道它的维数不超过4，因为原线性空间的维数是4，子空间的维数自然不能超过4。”学生B的问题，稍有些难度，没接触过的同学不好回答，但在作业中也有同学是先写出了维数是2，再求子空间的基。对这个问题老师给予了正面解答：“由于作业题比较特殊，我们可以从其构成初步判断维数；
我们先看原线性空间的一般元素，这个矩阵中4个位置上的数彼此是没有关系的，就是说任意取值，有4个独立的位置，而线性空间P2×2恰好就是4维的。对于子空间中的一般元素，发现4个位置上的元素只有两个是独立的，任意取值的，所以可以初步判断维数为2，但要注意这并不是严格的推理；
另外，对于一些复杂的子空间，是无法猜测其维数的，比如教材习题第15题。”
提问和自由交流之后，老师进行了总结提升：在证明推理中要注意严谨性，有理有据；
同时指出作业中容易犯的一个错误是误认为原线性空间的基E11,E12,E21,E22也是子空间的基，错误的根源在于没有验证这组向量是否在子空间之中，而只是注重了基的判别定理的形式；
另外，这个作业题也提示我们，在寻找子空间的基时可以考虑从原线性空间的基出发。
在小组讨论之后，教师安排了重点内容测验。课后经查看学生提交情况，有90%以上的同学能完整地书写解答过程。
小组讨论能顺利进行，这主要是由于前面有内化吸收、课后小测验、作业、“亮考帮”的充分准备，学生有备而来，有可讨论的话题。
4.1 精心备课，合理留白 在课堂讲授阶段，教师要根据学生的实际能力和教学内容来安排哪些内容不讲，哪些内容讲，讲到什么程度，这对教师提出很高的要求。高等代数课程内容是十分抽象的，教师要逐步培养学生的抽象思维能力，难度大的问题教师要详细讲，一般难度的问题教师主要提点思路或给出部分解答，较容易的问题教师要留给学生完成。
4.2 布置分层作业，独立完成测验 对于书面作业，尽量分层布置，不同程度的学生可以完成不同层次的作业，让每位学生都有不同程度的成就感。要注意强调课后的小测验不计成绩，随堂的小测验计成绩，其目的是让学生能独立完成课后小测验，重视随堂测验，提升教学效果。“亮考帮”是讨论顺利进行的保证，应要求学生认真完成，但不必追求“亮”“考”“帮”中问题的数量。
4.3 自由讨论，解决个性问题 在小组讨论中不必特意要求学生提出讨论高难的问题，只要有讨论，就有思考，就有收获，就能解决个性的问题，就能培养合作交流能力和解决问题能力。
对分课堂容易上手，易于操作，但是针对不同的课程与学生还要灵活掌握，有针对性进行调整，以取得更好的教学效果。
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