王鹏飞，田 炜，王 玺
（1.延安大学 物理与电子信息学院，陕西 延安 716000；
2.榆林市生态环境局 固体废物管理中心，陕西 榆林 719000）
粗糙地面下方的电力电缆铺设情况错综复杂，这给地下电缆位置判定带来很大的挑战。近些年来，有许多研究者对地下管线检测技术做了一定的研究，如文献[1]利用电磁感应频域装置对埋地电缆和管道进行了表征，并完成了对地下电缆和管道的检测；
文献[2]根据澳门某海底航油管线勘探的成功案例，对频率域电磁法超深管道勘探技术进行了分析研究；
文献[3]研究设计的基于谐振差分方法的电磁探测系统能实现对城市地下金属管道、管线的有效探测；
文献[4]开发了一种新型的融合地球物理扫描仪，并用于近地表埋藏物的探测，如铁管、金属和岩石等。
近些年来，随着脉冲式雷达对地观测技术的不断提升，复杂背景与下方目标的时域电磁散射计算引起了人们普遍的关注[5-7]。若将传统的频域方法直接用于复合模型瞬态场问题的求解，如矩量法（MoM）[8-10]、快速多极子方法（FMM）[11-13]等，需在通频带内进行逐点的电磁散射计算和频-时域变换，将面临计算量大、计算精度不够高的问题。时域有限差分方法具有善于处理复杂介质的优势，被广泛地运用于瞬态情形电磁问题的分析[14]。
本文针对地面下方目标电磁探测的技术问题，运用FDTD 方法开展了粗糙土壤面下方埋藏双传输线的瞬态散射分析，经傅里叶变换（FFT）得到了后向宽带复合散射系数与入射波频率之间的关系，进一步研究了粗糙土壤面几何轮廓统计参数、土壤介质参数、传输线参数对后向复合散射的影响规律。
图1 为由Monte Carlo 方法结合高斯功率谱密度模拟的随机粗糙土壤地面与下方同轴电缆复合散射的FDTD 模型。其中，D和r分别为电缆的外部介质厚度和内部导体半径，ε和σ0分别为电缆介质介电常数和导体电导率，ht表示电缆埋藏深度，x0为两电缆中心之间的距离。同时，采用单轴完全匹配层（UPML）吸收边界[15]来截断FDTD 模拟计算区域，UPML 的厚度为10 个网格。
FDTD 是计算目标电磁散射的一种时域数值方法，其基本思想是利用场量的交错迭代来实现电磁问题的分析[14]。FDTD 基本理论介绍以二维情形TM 模式为例，利用中心差分代替Maxwell 微分方程中的空间和时间导数，可得电磁场的时间步进公式[16]：
式中：i和j分别是沿x方向和y方向的节点位置；
n是时间步长；
Δx和Δy分别是x和y方向上网格棱边长度；
CA(m)，CB(m)，CP(m)，CQ(m)为迭代系数，其中标号m的取值同式（1）～式（3）左端各电磁场分量节点的编号。在图1所示的总场和散射场区，电磁场迭代计算由式（1）～式（3）完成。
计算域中的总场与散射场区之间利用虚拟的连接边界加以分隔，并将入射波约束于总场范围以内，在散射场区不存在入射波，而按照等效原理则需要在连接边界设有等效电磁流：
式中为连接边界法向单位矢量[14]。
FDTD 总场区入射波通过一维FDTD 波场向连接边界投影的方式引入[17]。设平面波照射波入射角为φi，具体见图2 的y"轴正方向。图2 中的水平线AB指的是图1中的总场边界。
得到入射波方向y"一系列样点上的入射波电场(p)，p=0,1,2,…。连接边界上的节点，在入射波方向上的投影为：
这些y"值很可能并不是相对应于一维FDTD 的样本点处，例如y"=(p+ω)Δy，这里p为整数，ω为小数，亦即，0 ＜ω＜1，此时所得y"值处在p和p+1 节点中间。利用线性差分方法，可得入射波在连接边界处的切向电场为：
入射波在连接边界的切向磁场可通过相同的方案实现，在此将不再赘述。总场边界上的电场和磁场的迭代可通过以下方程进行：
为有效消除或抑制粗糙面边界引入的计算误差，需将粗糙面边缘激励场设置为接近于零的极小值。通常采用窗函数加权平面波的方式完成，本文运用的权函数为高斯窗函数[18]，其表达式为：
式中：φi指入射角；
(x0,y0)是指总场边界的中心点处，设定其为坐标原点(0,0)。
因为计算机的存储和计算能力限制，数值模拟计算过程仅可以在有界域内进行。本文将在FDTD 模拟计算区域的截断处选用UPML 吸收边界，以此来模拟开域电磁计算过程。二维UPML 的FDTD 公式详见文献[15]。利用FDTD 算法获得输出边界近场数值结果后，再利用近-远场外推和傅里叶变换可得频域复合散射场，对粗糙表面经过归一化处理后的雷达散射截面可通过下式得出：
散射系数[19]为：
双介质包裹导线位于粗糙土壤面下方，如图1 所示。设宽带雷达发射TM 模式的微分高斯脉冲，相应表达式为Ei(t)=，计算中选取电磁波入射角φi=20°。粗糙面根据Monte Carlo 方法结合高斯功率谱密度构建，其长度取为L=18 m，离散网格大小Δ=Δx=Δy=0.005 m，并设置了UPML 吸收层的厚度为10 个网格。土壤类别为沙土壤，其相对介电常数利用Wang and Schmugge 的四成分模型加以运算[20]。若无特别指明，土壤表面的高度起伏均方根δ=0.03 m，相关长度l=0.15 m，D=0.1 m，r=0.9 m，ht=1.1 m，x0=2 m，ε=60-j，σ0=3.72×107S/m。
3.1 δ 变化对后向复合宽带散射系数的影响
图3 中提供了粗糙沙土壤地面和埋地双同轴电缆的后向复合宽带电磁散射系数σ及其随地面均方根高度δ变化的物理关系。由图3 可看出，当频率较小时，δ对σ基本没有影响，当频率逐渐增大时，δ越大，σ也越大。这是因为相关长度l一定时，δ越大，粗糙地面的起伏程度越明显，土壤面如果越粗糙，地面的非相干散射也越强，因此后向复合宽带电磁散射系数也相应的增大。
3.2 mV 变化对后向复合宽带散射系数的影响
图4 中提供了后向复合宽带电磁散射系数σ随沙土壤湿度mV变化的物理关系。在计算时，粗糙面土壤湿度分 别 为mV=0.1g/cm3(εr=4.94-j0.46)，mV=0.2 g/cm3(εr=10.29-j1.65)，mV=0.4 g/cm3(εr=26.04-j5.21)。由图4 可得，在整个计算频率区域内，增加mV的同时σ也相应增加，这就是由于当沙土壤湿度逐渐增加的同时，沙土壤介电常数εr的实部和虚部也随着相应增加，致使粗糙面反射增强，因此，粗糙面对电磁散射总场的电磁贡献增大。该现象干燥的土壤更利于地下传输线的识别和探测。
3.3 D 变化对后向复合宽带散射系数的影响
图5 给出了后向复合宽带散射系数σ随包络介质厚度D的变化情况。计算中，取包络介质厚度D=0.1 m，D=0.2 m，D=0.25 m，导体半径r=0.8 m。由图5 可知：在整个计算频率范围内的大部分频率点，介质厚度D越大，σ振荡幅度越大；
当频率较小时，包络介质厚度的变化对复合宽带散射系数σ的影响也相对较小；
当频率逐渐增大时，对于绝大部分的频率点，后向复合宽带散射系数σ随包络介质厚度D的增大而增加。这是由于当包络介质厚度增大时，埋地电缆和粗糙沙土壤耦合散射面积也同时增加，进而，它们两者之间的耦合散射增强，由此导致总的后向复合宽带电磁散射也增大。
3.4 ht 变化对后向复合宽带散射系数的影响
图6 给出了后向复合宽带散射系数σ随电缆埋设深度ht的变化关系。由图6 可知：在整个计算频率范围内的大部分频率点，复合散射系数σ的振荡幅度随电缆埋藏深度ht的增加而减小；
当频率较低时，电缆埋藏深度ht的变化对复合宽带散射系数σ影响较小；
当频率逐步增加时，在大部分频率点，复合宽带散射系数σ随电缆埋藏深度ht的加深而变小。这是由于随着电缆埋藏深度的加深，埋地电缆与粗糙土壤表面的耦合散射随之减弱，后向复合宽带散射系数也因此而逐步减小。
3.5 x0 变化对后向复合宽带散射系数的影响
图7 给出了后向复合宽带散射系数σ随电缆中心距离x0变化的关系，其中ht=1.0 m。由图7 可知：在整个计算频率范围内的大部分频率点，电缆中心距离x0越小，后向复合宽带散射系数σ随埋地电缆中心距离x0变化曲线的振荡频率越高；
在频率较小时，x0的变化对曲线振荡频率的影响差距较大，而在频率较高时，x0的变化对曲线振荡频率的影响差距较小。这是由于电缆中心距离x0越小，电缆与电缆的相互耦合越强，后向复合宽带散射系数σ随埋地电缆中心距离x0变化曲线的振荡频率也相应随之增加。
本文根据粗糙地下电缆检测的这一现实问题，利用时域有限差分数值计算方法实现了对沙土壤地面与埋地双同轴电缆后向宽带电磁散射的复合运算，进而对各参数与后向复合散射系数之间的物理关系作了详细分析。计算结果显示，后向复合宽带电磁散射系数随沙土壤地面的均方根高度、沙土壤湿度、埋地电缆中心距离、埋地电缆包络介质厚度的增大而增大，随电缆埋藏深度的增加而减小。本文的计算结果对于地下电缆探测等实际问题的研究具有重要意义。当然，本文的研究仅限于粗糙地面与下方双传输线的情形，下一步将开展粗糙地面下方传输线电磁成像和参数反演等研究。
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