樊少华,李小华,杨 伊
(辽宁科技大学 电子与信息工程学院，辽宁 鞍山 114051)
四旋翼飞行器是一个典型的非线性、强耦合、多变量的欠驱动系统.四旋翼飞行器的控制方法有以下4类: ①针对线性模型的控制，包括PID控制和LQR控制[1-3]; ②针对非线性模型的控制, 包括backstepping控制[4-5]、滑模控制[6-8]及H∞控制[9]; ③智能控制;④其他控制[10-12]. 设计backstepping控制器时,系统数学模型必须具有严格的反馈形式[13]. 为了满足这一要求, 文献[4]忽略了数学模型中子系统间的耦合项, 但这样设计出来的控制器不能保证系统的控制精度. 文献[5]虽然考虑了四旋翼飞行器姿态子系统间的耦合项, 但在控制器设计过程中这些耦合项被直接放在控制器模型中,并没有对这些耦合项进行处理.H∞控制可抑制外部扰动对系统的影响，H∞控制要求系统是渐近稳定的, 但很多非线性系统很难达到渐近稳定, 通常只能达到有界稳定.文献[14]设计了一种有界H∞控制器, 该控制器既能保证系统有界稳定, 又能抑制外界干扰对系统的影响.为了提高四旋翼飞行器系统的控制精度, 该文拟采用考虑各子系统间的耦合项、空气阻力及外界干扰的数学模型，设计四旋翼飞行器系统的自适应神经网络有界H∞跟踪控制器.
1.1 系统描述
(1)
该文设计四旋翼飞行器系统(1)的自适应神经网络有界H∞跟踪控制器, 使四旋翼飞行器系统能跟踪参考轨迹, 对外界干扰具有有界H∞抑制性能，同时保证闭环系统是有界稳定的.
1.2 预备知识
假设1参考轨迹xid(t)(i=1,3,5,7,9,11)及其2阶导数是连续且有界的.
利用径向基函数神经网络(radial basis function neural network，简称RBFNN)逼近连续非线性函数f(Z)[15], 其表达式为
f(Z)=W*TS(Z)+δ(Z),∀Z∈Ω⊂m,
(2)
其中：m为正整数；
W*T为最优权向量；
δ(Z)为逼近误差, 且满足|δ(Z)|≤δ*,δ*为有界正数；
RBFNN的基函数向量S(Z)=[s1(Z),s2(Z),…,si(Z),…,sj(Z)]T∈j,si(Z)为高斯函数, 其表达式为
(3)
其中：σi为基函数中心对应的矢量,κi为基函数的宽度.
引理1[16]若S(Z)与S(Zl)均为RBFNN的基函数向量, 其中Z=[z1,z2,…,zn]T,Zl=[z1,z2,…,zl]T均为输入向量,l和n均为正整数，且满足l≤n, 则下式成立
‖S(Z)‖2≤‖S(Zl)‖2.
(4)
引理2[17]对于系统(1), 如果存在正定、径向无界、连续可微的V(x):n→,a0>0,b0≥0，满足
(5)
则系统(1)是有界稳定的,且存在唯一解.
引理3[14]对于任意给定的l>0, 有如下不等式成立
(6)
其中：s1>1,s2>1, 且(s1-1)(s2-1)=1.
引理4[14]假设x,ψ,χ在t∈[a,b]上为实连续函数, 且χ(t)≥0.如果
(7)
则有
(8)
定义1如果系统(1)满足下列条件:
(2) 下面的不等式成立
(9)
其中：z(s)为跟踪误差,V(X(0))为正常数, 非零外部干扰d(s)∈L2[0,T],γ为给定的干扰抑制系数.
则系统(1)对外界干扰具有有界H∞抑制性能.
2.1 控制策略
该文将采用双闭环策略对四旋翼飞行器系统进行控制. 外环控制为位置控制, 根据参考值xd,yd,zd与实际值x,y,z的差值, 设计位置控制器u1,ux,uy;内环控制为姿态控制, 通过ux和uy, 求得横滚角参考值φd和俯仰角参考值θd.根据参考值φd,θd,ψd和实际值φ,θ,ψ的差值，设计姿态控制器u2,u3,u4.图1为四旋翼飞行器系统的控制框图.
图1 四旋翼飞行器系统的控制框图
下面的控制设计中需用到的坐标变换为
zi=xi-xid,
zi+1=xi+1-αi,
(10)
其中：x1d=zd,x3d=xd,x5d=yd,x7d=φd,x9d=θd,x11d=ψd;αi为虚拟控制律；
i=1,3,5,7,9,11.
2.2 位置控制器的设计
高度子系统为
(11)
位置控制器设计的步骤如下:
第1步 考虑如下Lyapunov 函数
(12)
对V1求导，可得
(13)
选取虚拟控制律α1为
(14)
其中：设计参数υ1>0.将式(14)代入(13)后整理可得
(15)
第2步 选取Lyapunov函数为
(16)
对V2求导, 由式(10)～(11)，(13)可得
(17)
根据引理3, 有
(18)
将式(18)代入(17)后整理可得
(19)
选取控制律u1为
(20)
注1式(20)中的x7和x9分别表示横滚角和俯仰角. 在四旋翼飞行器飞行过程中,x7和x9的取值范围不会导致cosx7cosx9为零, 因此u1不会出现奇点问题.
将式(20)代入(19)后整理可得
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
注2式(23)，(25)中,u1为垂直于无人机机身的向上升力, 其值不会为零，因此ux和uy不会出现奇点问题.
通过相关计算可得
(26)
(27)
(28)
(29)
2.3 俯仰角和横滚角参考值的求解
由四旋翼无人机的动力学方程可知, 其水平控制通道和俯仰、横滚控制通道联系紧密.水平控制量ux和uy的表达式[4]分别为
(30)
根据式(30)可解得横滚角和俯仰角参考值.根据四旋翼飞行器定点飞行的特点, 设偏航角参考值ψd=0 rad，据此解得俯仰角参考值φd和横滚角参考值θd分别为
(31)
2.4 姿态控制器的设计
横滚角子系统为
(32)
姿态控制器设计的步骤如下:
第1步 选取Lyapunov函数为
(33)
对V7求导, 由式(10)，(32)可得
(34)
利用RBFNN对Φ7(Z7)进行估计, 得到Φ7(Z7)的估计值为
(35)
根据引理1，3有
(36)
(37)
(38)
(39)
其中：设计参数h7>0.将式(38)和(39)代入(37)后整理可得
(40)
第2步 选取Lyapunov函数为
(41)
对V8求导, 由式(10),(32)，(40)可得
(42)
根据引理3，有
(43)
将式(43)代入(42)后整理可得
(44)
(45)
根据引理1，3，有
(46)
(47)
(48)
(49)
将式(48)，(49)代入(47)后整理可得
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
通过相关计算可得
(59)
(60)
(61)
(62)
定义四旋翼飞行器系统的Lyapunov函数为
(63)
注3m0为辅助参数, 不参与控制器的设计, 选取合适的m0使V>0,以保证系统对外界干扰具有有界H∞抑制性能.
将式(21)，(27)，(29)，(50)，(60)，(62)求和，可得
(64)
至此, 四旋翼飞行器系统(1)的自适应神经网络有界H∞跟踪控制器设计完毕. 设计结果可归纳为定理1.
定理1对于满足假设1的四旋翼飞行器系统(1), 若控制律按(14)，(20)，(22)～(25)，(38)，(48)，(51)～(54)选取，自适应律按(39)，(49)，(55)～(58)选取, 则四旋翼飞行器系统能跟踪参考轨迹, 闭环系统是有界稳定的，且对外界干扰具有有界H∞抑制性能.
证明(1) 闭环系统是有界稳定的.令外部扰动di=0(i=1,2,…,6), 则有
(65)
(66)
由引理2可知，闭环系统是有界稳定的.
(2) 系统对外界干扰具有有界H∞抑制性能.定义辅助函数H为
(67)
H≤b0.
(68)
由式(63)可知，V>0, 因此一定存在一个未知常数ρ>0, 且满足
(69)
则有
(70)
从0到T对式(70)进行积分，可得
(71)
(72)
下面用反证法证明ψ(T)>0.假设ψ(T)≤0, 则有
(73)
式(73)与式(63)矛盾,则有
(74)
可见，系统(1)对外界干扰具有有界H∞抑制性能. 因此，定理1得证.
图2为四旋翼飞行器系统的跟踪效果.从图2可看出, 四旋翼飞行器系统能较精确地跟踪参考轨迹. 图3为位置子系统的跟踪效果；
图4为姿态子系统的跟踪效果；
图5为控制输入u1,u2；
图6为控制输入u3,u4.从图3～6可看出, 第10秒时给四旋翼飞行器系统加入外部扰动后, 系统控制器能迅速做出调整, 保证飞行器的正常飞行, 表明该文设计的控制器具有有效性.
图2 四旋翼飞行器系统的跟踪效果 图3 位置子系统的跟踪效果 图4 姿态子系统的跟踪效果
图5 控制输入u1,u2
图6 控制输入u3,u4
该文综合考虑了各子系统间的耦合项、空气阻力及外界干扰对四旋翼飞行器系统的影响，解决了四旋翼飞行器系统在有界稳定情况下难以实现的H∞跟踪控制问题.所设计的控制器能保证四旋翼飞行器系统较精确地跟踪参考轨迹, 且对外界干扰具有有界H∞抑制性能，该文的研究结果为四旋翼飞行器系统的抗干扰设计提供了理论指导.
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