鲁棒调节器及其在宏观经济中的应用
当给出系统的数学模型及确定出模型参数后，我们便可以设计出相应的经济策略使受控变量逼近给定目标。但是，当系统参数值估计得并不准确，或随着时间的变迁，系统参数值发生变化时，我们是否还有办法设计经济政策，使受控变量准确逼近给定目标值吗？回答是肯定的。鲁棒调节器便是一种解决此问题的有效技术。
现在我们就来看下鲁棒调节器在宏观经济系统中的应用。宏观经济系统是一个动态系统，其模型本身具有缺陷和参数估计误差，而且存在自身和外部的扰动信号，因此，本文运用鲁棒设计方法对宏观经济系统进行分析与优化控制，从而能够保持经济系统的完全稳定运行，并且保证受控变量能够准确跟踪预先给定的目标。
（一）一个简单的宏观经济系统
首先我们用如下的线性模型来表示一个简单的宏观经济系统：
总需求方程：
投资需求方程：
储蓄方程：
消费需求方程：
税收收入方程：
货币需求方程：
货币交易需求方程：
货币投机需求方程：
利率调节方程：。
其中，为总需求，为投资需求，为个人消费需求，为政府支出需求；、、、都为名义值，即以当年价来统计的变量；为第t个时间周期的名义利率。q>0表示当总需求上升时，导致总供给上升，从而引起储蓄上升。d>0表示利率上升时，引起储蓄上升；为税收收入，为总需求，在市场机制下，名义总需求与名义总供给在物价机制下会很快趋于一致。因此又可理解为名义总供给，或名义GNP（国民生产总值）。u>0为税率，指税收总量占GNP的总比重；为货币总需求，为货币交易需求，为货币投机需求；为第t个时间周期货币供给量，k>0为调节系数。当货币需求大于货币供给量时，引起第t+1个时间周期利率的上升。反之，当货币需求小于货币供给时，引起利率下降。
现在我们需要做的工作就是把上面的简易宏观动态线性系统化为标准的状态方程形式。这时我们可以先根据上面系统所示的关系式画出反映各变量间因果关系的一个因果关系图（这里省略，可以参阅（张金水，2000））。根据这个因果关系图我们可以把上面所示系统变化成一个含有三个延迟环节的系统方程。这时我们需要用到一个很重要的技巧：三个延迟环节表明该系统中有三个状态变量。上述的系统方程也就可以化为3个方程。其余变量（控制输入与扰动输入除外）可以消去。为了方便起见，对上面所示系统参数赋予具体数值：
在上述参数之下，系统方程变成矩阵形式：
政策变量为，状态变量为。在确定了状态变量值之后，其它变量的值我们也就知道了。
（二）鲁棒控制策略设计
在本系统中，受控变量为名义GNP，即的变化与名义利率的变化。一般地说，名义利率等于实际利率加上通货膨胀率。而实际利率又是与一个国家的实际GNP增长率有关的。又由于在一定时期内，一个国家的实际增长率基本上保持不变或变化甚微，我们也不希望有太高的通货膨胀率，因此控制目的应使得名义利率为某一给定常数，它基本上等于通货膨胀率加实际GNP增长率。同时，我们知道名义GNP的增长率也是等于实际GNP增长率加上通货膨胀率的。所以综上所述，我们可以把系统的控制目的设定为：
控制目的：
其中，为给定常数，这里我们我们令名义利率趋于5%，GNP趋于（单位为万亿元），即：
这时我们可以按下式设计控制策略：
从上式可以看出，反馈阵，，共有14个元素待定，由于受控系统有3个内部状态，2个控制输入，补偿器有4个内部状态变量，那么反馈阵共有2*（3+4）=14个待定元素。
现有：
并建立新的状态矩阵H，由于H阵为7×7方阵，它有7个特征根。现在的任务是选择，，阵使得有预先给定的7个特征根。为使系统尽快逼近目标值，令7个特征根全为零，可解得：
设开始时，系统处在平衡位置：采用上述鲁棒控制策略，我们可以计算出系统状态（包括补偿器状态）变化过程，计算过程中我们发现，当t=3时，受控变量便已从原来的调控到目标值5%。而且受控变量在t=6时也已到达目标值，即：
由于配置的系统极点为，一般地讲，不会超过t=8便可令受控变量准确跟踪目标值。极点全为0时的策略称为快速反应策略。在快速反应策略下，系统政策变量与目标变量都将有较大波动。同样可计算系统策略变量的取值，得：
鲁棒调节器对中小规模的宏观经济系统具有较大的应用价值，并且能够帮助宏观经济决策层进行宏观经济系统的分析，正确地运用财政和货币两种调控手段，避免宏观经济的较大波动，从而使宏观经济平稳快速地增长。