数形结合是中学数学教学中一种重要的思想方法,在解题时如能将数与形有机的结合起来,能将一些繁琐冗长,或无从着手的问题迎刃而解,本文将谈谈数形结合在解决代数问题时的几点运用,供参考。
一、数形结合在解方程中的运用
例1 解方程+=6
解:原方程可化为+=6
令y2=1,则+=6
它表示动点(x,y)到两定点(2,0),(-2,0)距离之和为6,
由椭圆定义知它就是椭圆+=1
把y2=1代入得x=±,
经检验知原方程的根为x=±
二、数形结合在解不等式中的运用
例2 已知x>x,则x的范围
解:在坐标系中画出幂函数y=x及y=x的图像,
由图像可知x的范围为(-∞,0)∪(1,+∞)
三、数形结合在不等式证明中的运用
例3 若实数x、y、z满足x+y+z=a,x2+y2+z2=,(a>0)
求证:0≤x≤,0≤y≤,0≤z≤
证明:将已知条件看作直线和圆,
直线x+y+(z-a)=0与圆x2+y2=-z2(z当作常量)有公共点。
因此圆心(0,0)到直线距离d=≤0≤z≤
同理可证:0≤x≤,0≤y≤
四、数形结合在求最值问题中的运用
例4 求函数y=的最值
解:问题可转化成是动点(cosx,sinx)与定点(2,2)的连线斜率的最值。
又因为动点(cosx,sinx)轨迹为圆
x2+y2=1
设过(2,2)的直线方程为y-2=k(x-2)
即kx-y-2k+2=0
直线中与圆x2+y2=1相切的k即为所求
所以=1k=
从而ymax=,ymin=
综上,数形结合作为一种重要的数学思想方法,在运用其解题时,要做到认真分析,精确作图,严密推理,才能实现数与形的等价转换,保证正确的解题结果。