摘 要：对有密度制约的Lotka-Volterra竞争系统的平衡点进行了定性分析，从生态学意义上给出了解释.此外分为已知正常数和未知两种情况给出了此系统的两种群同时捕获时的最大持续受益的条件。
关键词：Lotka-Volterra模型；竞争系统；同时捕获；最优捕获策略
中图分类号：C93 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2012）09-0204-03
引言与模型假设
生物资源的开发问题近几十年为广大学者所广泛研究，对单种群资源的开发问题已有许多成果，但对于多种资源开发与管理的研究，成果却很少，翁世有研究了互惠系统的捕获优化问题，张剑等应用最优控制方法，研究了捕食系统的捕获优化问题。受文献 [2~3] 启发，本文引入价格成本因素，并且应用定性分析的方法对捕获强度系数为已知正常数和为未知两种情况给出了此系统的两种群同时捕获时的最大持续受益的条件，具有一定的现实意义。
本文阐述了Lotka-Volterra竞争模型及其以最大收益为管理目标的最优捕获策略，有密度制约同时捕获的竞争模型为：
=x（a-αx-by）-Ex=y（c-βy-dx）-kEy （1）
x，y表示在t时刻种群x和y的数量，a，c分别为种群x和y的内禀增长率，b，d表示彼此竞争能力，a，b，c，d均为正常数。
此外，本文约定用E*表示最优捕获努力量，MEY表示最大纯收益，设种群x和y的捕获物的销售单价分别为常数p和q，单位捕获努力量的成本为c。
其中，k为正常数。这种捕获方式是用努力量E同时去捕获种群x和y的。以捕鱼业为例，一网下去，捕获种群x的个数与种群y个数之比大致为k，参数k反映了渔网的特性.设努力量E的单位成本为c。
一、定性分析及生态学意义
由文献[6]知，系统（1）的两个非负平衡点：
P1（0，0）和P2（，），其中，0，k2=c-kE>0。
因此，P1（0，0）为不稳定的结点。同理将P2（，）代入|A-λI|=0得特征方程：
λ2+λ-=0
其中，X=（c-kE）b-（a-E）β，Y=（a-E）d-（c-kE）α。
1.当bd-αβ>0时，由0，Y>0，>0，>0，此时P2是鞍点（不稳定）。
2.当bd-αβ0，0，y（0）>0，P2表明两种群的规模是相互制约着增长的，最终趋于相对平衡状态。
以下考虑在此动态平衡状态，使纯收益的最优捕获策略。
二、最优捕获策略
（一）k为已知正常数的最有捕获策略
1.总捕获能力为无限时纯收益
R（E）=pEx+kqEy-cE
=pE（+kq）-cE
=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE
=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E
其中，M1=，M2=
求R（E）的最大值，由微分学知：=0
解得：E*=
则MEY=R（E*）。
由实际意义，当cM1+adkM2-ckαM2->0，kM1-k2M2α-
M1β>0时，最优捕获努力量为E*时，可获最大纯收益MEY。
2.总捕获能力为有限E时纯收益
R（E）=pEx+kqEy-cE
=pE+kq-cE
=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE
=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E
其中，M1=，M2=
考虑R（E）在[0，E]上的最大值。
由实际意义有：
（1）当E>时，则*=，
故MEY=R（*）。
（2）当00，kM1-k2M2α-
M1β>0时，最优捕获努力量为*时，可获最大纯收益MEY.
（二）k为未知正常数的最有捕获策略
1.总捕获能力为无限时纯收益
R（E，k）=pEx+kqEy-cE
=pE（+kq）-cE
=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE
=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E
其中，M1=，M2=
求R（E，k）的最大值，由微分学知：
=0=0
即：2E（k2M2α-kM1+M1β）+cM1+adkM2-ckαM2-=02kαM2E2-M1E2+（ad-ca）M2E=0
解得：E＝E*k＝k*
从而有：MEY=R（E*，k*）
总之，可根据实际意义，当最优努力捕获量为E*，捕获强度系数比为k*时，可获最大纯收益MEY=R（E*，k*）。
2.总捕获能力为有限E时纯收益
R（E）=pEx+kqEy-cE
=pE+kq-cE
=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE
=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E
其中，M1=，M2=
求R（E，k）在（0，E）的最大值。
可根据实际意义：
当EE*时，取*=E*，*=k*，可获最大纯收益。
小结
本文讨论了有密度制约的Lotka-Volterra模型竞争系统同时捕获的最优化问题，给出了平衡解，得到了努力量与产出的关系，最终得到最优化捕获策略，若用同一工具捕捞可有效控制分配捕获强度系数，使之有利于人们的实际需要。
参考文献：
[1] 郭见军.生物种群资源开发管理的最优控制问题研究[D].成都:四川大学，2002.
[2] 张玉娟，刘会民，张树文，等.竞争系统的两种群同时捕获优化问题[J].生物数学学报，1998，(4).
[3] 郭建军，贺昌政.竞争系统两种群捕获的生物经济最优控制问题[J].西南工学院学报:自然科学版，2002，(1):11-15.
[4] 陈兰荪，陈键.非线性生物动力系统[M].北京:科学出版社，1993:60-69.
[5] 马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社，1994:41-45.
[6] 王顺庆，王万雄.数学生态学稳定性理论与方法[M].北京:科学出版社，2004.
Optimal Problem of Two Species Being Harvested Simultaneously for Prey-predator Systems
YIN Hua-min1，HUO Jin-xia2
（1.School of Mathematics and Statistics of Longdong University，Qingyang 745000，China；
2.Department of Mathematics of Lanhou City University，Lanzhou 730070，China）
Abstract：This paper analysizes qualitatiye property of the equilibrium for a continuous prey-predator systems，illustrates the existence of periodic solutions around center in point of ecology.In addition，the article gives the conditions of maximum sustainable economic revenue when two species of prey-predator systems are harvested simultanously.
Key words：Lotka-Volterra model； competition system； simultaneous harvest；optimization strategy[责任编辑 王玉妹]