函数解析式揭示了两变量之间的关系，构造并研究函数关系式是解决许多实际问题及数学问题的最有效的方法。但许多函数问题由于函数解析式复杂、抽象，无法直观地通过图像或借鉴熟悉的函数性质解决，给学生解决问题带来困扰。本文试图通过常见几种类型函数问题的探讨，寻求解决此类问题的思路和思想方法。
一、利用抽象函数关系式构造熟悉函数并解决问题
抽象函数问题是指没有具体的函数关系式（主要是一次函数、二次函数、指对数函数，三角函数等），给出的是一个该函数性质类的关系式，要求研究该函数的其他性质。
例1：已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2，则f(x)在［-3，3］上的最大值为?摇?摇?摇，最小值为?摇?摇?摇。
［析］构造函数f(x)=kx，由已知条件知k=-2。数形结合得最值。
类似题：已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1003)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=2006。
［析］构造函数f(x)= x。
例2：设f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且f( )=f(x)-f(y)，若f(2)=1，则f(4)= 2 。
［析］构造函数f(x)=log2x，则f(4)=log24=2。
类似题：已知定义域为R的函数f(x)对任意的实数x，y满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy，且f(0)=1，f( )=0。给出下列结论：①f( )= ；②f(x)为奇函数；③f(x)为周期函数；④f(x)在(0，π)内为单调函数。其中正确的结论是③④。（填上所有正确结论的序号）
［析］构造函数f(x)=cosx。
当然，这只是题设函数的特殊情况，用以推测题设函数的性质，具体问题还要用一般方法解决（如赋值法、抽象函数关系式变式反复使用等解题技巧）。
二、巧妙换元后转化为熟悉函数解决问题
许多问题所给函数解析式是一种复合函数，可以通过换元，利用内、外函数的复合转化为熟悉的函数解决问题。
（复合函数单调性法则是“同增异减”，即内、外函数单调性相同，复合函数为增函数，否则为减函数。）
例3：已知向量 =( ，-1)， =( ， )。
（1）若存在不为0的实数k和角α，α∈(- ， )，使 = +(tan α-3) ， =-k +(tanα) 且 ⊥ ，试求函数关系式k=f(α)； （2）对（1）中的k=f(α)，求k=f(α)，α∈(- ， )的极值。
［析］（1）k= tan α- tanα。（2）换元令x=tanα，构造函数k= x - x(x∈R)，利用导数求得x=1，即α= 时k的极小值为- ；x=-1，即α=- 时k的极大值为 。
三、引进恰当的变量构建函数解决问题，特别是实际问题
客观世界从某种意义上讲是变量的世界，解决许多实际问题可以通过收集、分析数据，引进变量，构造合理的函数关系式，通过研究构造的函数关系式解决实际问题。
例4：请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点Ｏ到底面中心Ｏ 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
［析］设OＯ 为xm，则1＜x＜4。
由题设可得正六棱锥底面边长为 = ，（单位：m）
故底面正六边形的面积为6• •( ) = (8+2x-x )，（单位：m ）
帐篷的体积为Ｖ(x)= •(8+2x-x )•［ （x-1）+1］= (16+12x-x )。（单位：m ）利用导数知识知，当x=2时，V(x)最大为16 m 。
四、利用题设条件巧妙构造熟悉性质的函数，解决问题
许多问题所给函数关系式复杂，就其本身很难研究。但只要合理变形，就能构造新的我们熟悉的函数，利用它们的性质研究所给函数的性质方便、快捷。
例5：已知函数f(x)= (x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M+m=?摇?摇?摇。
［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)= 为奇函数，g(x)的最大值与最小值的和为零，故M+m=2。
类似题：已知函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m=?摇?摇?摇。
［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)为奇函数，M+m=2。
类似题：已知函数f(x)=6x +9x+1若f(a)+f(a-1)＞2，则a的取值范围是?摇?摇?摇。
［析］构造函数g(x)=f(x)-1=6x +9x为奇函数，为增函数。则由题有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(１-a)。所以a＞1-a，解得a＞ 。
例6：如果(1+sin θ)sinθ＞(1+cos θ)cosθ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是?摇?摇?摇。
［析］构造函数f(x)=(1+x )x=x +x，则f′(x)=5x +1＞0，f(x)为R上的增函数。故由题知sinθ＞cosθ，而θ∈(0，2π)，所以θ∈( ， )。
类似题：使(log23) -(log53) ≥(log23) -(log53) ，则x，y的大小关系是?摇?摇?摇。
［析］ 构造函数f(x)=(log23) -(log53) ，由于y =(log23) 为增函数，y =(log53) 为减函数，故f(x)为增函数，由题知f(x)≥f(y)，知x≥y。
例7：已知函数f(x)=lnx，g(x)=x。当x＞1时，求证：f(x)＞2g( )。
［析］构造函数h(x)=f(x)-2g( )，利用导数知h(x)在(1，+∞)是增函数，故h(x)＞h(1)，得证。
五、利用题设条件巧妙构造熟悉图像的函数，解决问题
数形结合是解决函数类问题的基本思想方法。但实际问题中的许多函数往往很难描绘它的图像。但很多情况下所给函数解析式可以合理变形，构造新的熟悉图像的函数，利用新函数的图像研究、解决问题。
例8：已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-1(a＜b)的两零点为α，β(α＜β)，试比较a，b，α，β的大小。
［析］令g(x)=(x-a)(x-b)，g(x)的两零点分别为a，b，g(x)的图像下移一个单位即得f(x)的图像，数形结合有α＜a＜b＜β。
例9：已知函数f(x)=6x +9x+1，若f(a)+f(a-1)＞2，则a的取值范围是?摇?摇?摇。
［析］构造函数g(x)=f(x)-1=6x +9x为奇函数，为增函数。则由题有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(1-a)，所以a＞1-a，解得a＞ 。
其实，构造熟悉的函数解决问题，实质依然是转化的思想，即化未知函数为熟悉函数，利用熟悉函数的图像和性质解决问题。已有的知识经验是解决未知问题的钥匙，只有熟练掌握常见函数的图像和性质，理解函数的基础知识，勤于思考，善于总结，勇于探索，才能找到解决问题的途径，到达成功的彼岸。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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