【摘 要】几何作图是几何学习的一个重要方面，是诸多几何能力的藏宝地。近几年的中考对作图进行了一些考查，但尚未形成规模，还有被挖掘的空间。本文从初中最常见的几种基本作图出发，谈一些个人的研究，以求抛砖引玉，共同探讨初中几何作图中丰富的内涵。
【关键词】基本作图 再研究 中考题中的应用
一、几何作图形式的拓展
谈到作图，首先想到的是尺规作图，尺规作图在近代数学史中占有重要的地位。在初中阶段，现行各版本的教材大概都介绍了五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的角平分线；作一条线段的中垂线；过一点作已知直线的垂线。而尺规作图的本质就是通过构造的办法来弥补由于工具的限制带来的不足，利用间接的办法来达到作图的目的，作图的背后是思维的闪光。
随着新课标的实施，新的教学理念逐渐渗透到了平时的教学中，对于作图也不例外，我们完全可以在作图工具上作选择，对于不同年级、不同层次的学生可选择不同的作图工具。现在很多地方把这样的几何作图叫“操作”。新课标强调“操作与解释”是非常到位的。
例如，小学生用直角三角板可以过直线外一点作已知直线的垂线，初中生用尺规作图，随着作图工具的改变，问题的内涵已有了质的飞跃。
二、基本作图的再研究
老的人教版教材专门在初三开设了“五种基本作图”这一课，现行各版本的教材把五种基本作图分散在各个学段中，究其基本思想就是利用所给的条件用尺规去确定点，继而确定线。值的注意的是，基本作图大都是通过三角形全等来构造，而其全等的依据都是“边边边”，这是由圆规的功能来决定的，而对于上述基本作图，我们也可以做进一步的变式研究。
1.作一个角等于已知角。
例1：如图1，∠ABC，D为BC上一点，在∠ABC内，求作一点E，使∠EDC＝∠ABC。
分析：这是一个基本作图，容易解决。
例2：如图2，∠ABC，D为∠ABC内一点，在BC上求作一点E，使∠DEC＝∠ABC。
分析：与例1一样是作一个角等于已知角的问题，但由于角的顶点没有告知，所以问题其实已有很大的变化了。
解法：通过点D作AB的平行线来解决这个问题，而过点D作AB的平行线也有不同的构造方法。
方法1：（1）过点D任作一条直线交AB于点F。
（2）过点D作∠FDH＝∠DFA，DH交BC于点E
所以点E就是所要求作的点（如图3）。
此种作法利用内错角相等，两直线平行．
方法2：（1）在AB上任找两点M、N
（2）连接MD、ND，构成△MND
（3）分别以D、M为圆心，MN、DN为半径作弧，两弧相交于点P
（4）过点D、P作直线DP，交BC于点E所以点E就是所要求作的点（如图4）。
此种作法是通过构造平行四边形，得到平行线。
这样，在解决问题的同时，我们也可以得到：利用尺规作图，可以过直线外一点作已知直线的平行线。
中考链接：（2007南京）已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹。
（1）在图5中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；
（2）在图6中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行。
分析：本题只用圆规作图，设计新颖，考查学生灵活处理问题的能力，本题用上述法2可轻松解决。
2.作一个角的角平分线
例3：已知∠AOB，作∠AOB的角平分线OC。
分析：除了课本规定的基本方法外，作角平分线的方法还有很多。
如：（1）任作一直线l∥OA，交OB于点D
（2）以D为圆心，OD为半径画弧，在∠AOB的内部交l于点C。
（3）作射线OC，射线OC就是所求作的线（如图7）。
此作法利用平行线构造等腰△OCD，再得到角平分线。
作为一种延伸，有2004年中考题曾规定只用一把有刻度的直尺作一个角的角平分线，也是充分挖掘了作图题的内涵。
变式1：已知直线l，点A、B分别在l的两侧。
求作：在l上找一点C，使直线l成为∠ACB的角平分线。
分析：给出了角平分线所在的直线，但隐去角的顶点，使本题增加了难度，怎样找到点C呢？当然还得从角平分线具有的性质入手。若能想到角平分线所在直线是一个角的对称轴，就不难找到解决问题的方法。
作法：（1）过点A作直线l的对称点A1（利用基本作图解决）。
（2）作直线BA1交直线l于点C，点C就是所要求作的点。（如图8）
中考链接：（2006安徽）如图（l），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。
（l）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。
（２）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）。
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（ 2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。
分析：本题中的核心第（2）题就是上面的变式1的应用。
值得一提的是，如果把图8中的A、B两点放在直线的一侧，可得：
变式2：如图9，已知直线l，点A、B分别在l的同侧求作：在l上找一点C，使CA成为∠BCD的角平分线。
分析：当两点在直线l的同侧时，问题也有了变化，但抓住角平分线的对称轴特点，也可用类似方法解决问题。
作法：（1）以点A为圆心，AB为半径作弧交l于点E。
（2）连接BE，并作BE的中垂线交l于点C。
所以点C就是所要求作的点。（证明略）
（江苏南京市高淳县第一中学；211300）