原题:(高中数学必修一55页)对任意的x,x∈R,若函数f(x)=2,比较与f()的大小关系。 分析:比较大小,常用的方法是比较法,有作差比较和作商比较两种,本题最好用作差比较法。
解:∵f(x)=2
∴=,f()=2。
∴-f()=-2
===≥0
∴≥f()
引申:若x≠x,则图形如下:其函数曲线任意两点A与B之间的部分位于弦AB的下方。
其几何意义为:与f()的大小关系为梯形的中位线与中点的函数值所表示的线段之间的大小关系,显然,>f()。
当x=x时,=f(),∴≥f()。
从上题可以发现函数f(x)=2的图像是下凹的。
推广:在讨论函数图像时,我们经常会遇到具有以下两种特性的函数:凹函数、凸函数。
凹凸函数定义(根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页):
设函数f(x)为定义在区间I上的函数,若对(a,b)上任意两点x、x,恒有:
(1)f(),则称f为(a,b)上的凸函数。
凹凸函数的几何特征:
几何特征1(形状特征)
如图,设A,A是凹函数y=f(x)曲线上两点,它们对应的横坐标x恒成立的函数的个数是(?摇?摇)。
A.0?摇?摇B.1?摇?摇C.2?摇?摇D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图像。注意到对任意x,x∈I,且x时,函数f(x)在区间I上的图像是“上凸”的,由此否定y=2,y=x,y=cos2x,应选B。
评注:本小题主要考查函数的凹凸性,试题给出了四个基本初等函数,要求考生根据函数的图像研究函数的性质――凹凸性,对试题中的不等关系式:f()>,既可以利用函数的图像直观的认识,又可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义。
例2:(2005北京卷理13)对于函数f(x)定义域中任意的x,x(x≠x),有如下结论:
①f(x+x)=f(x)•f(x);②f(x•x)=f(x)+f(x);
③>0;④f() 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文