摘要:利用直角三角形斜边上的中线,可以巧妙的解决一些数学问题。本文根据教学实践,整理出三道典型例题,仅供参考。 关键词:直角;三角形;斜边;中线 中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)11-0081-01
同学们都知道:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,利用这条性质,可以巧妙地解决一些数学问题。
例1、 在�ABC中,BD、CE分别是高,F、G分别为DE、BC的中点。
求证:FG⊥DE
点拨:因为Rt?荪BEC和Rt?荪BCD有公共的斜边BC,且G为斜边BC的中点,若连结GE、GD,由上面的性质可知GE=GD;再利用等腰三角形的性质可得FG⊥DE
证明:连结GE、GD
在Rt?荪BCE中,∵G是斜边BC的中点 ∴GE=BC
在Rt?荪BCD,∵G是斜边BC的中点 ∴GD=BC ∴DE=DG
又∵F是DE的中点∴FG⊥DE
例2、在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F、G三点分别是OA、OD、BC的中点,且AB=BD。
求证:EG=EF
点拨:连结BE,先证�BEC为直角三角形,因为G是BC的中点,由上面的性质可知EG=BC;再利用三角形的中位线定理可得EF=AD即可。
证明:连结BE
∵四边形ABCD为平行四边形∴AD=BC,OB=OD=BD
又∵AB=BD ∴AB=OB
∵AE=OE ∴BE⊥OA(等腰三角形的三线合一)即�BEC为直角三角形
又∵G是斜边BC的中点 ∴EG=BC
∵E是AO的中点,F是OD的中点∴EF=AD ∴EG=EF
例3、 如图3,E是 ABCD外一点,AE⊥EC,BE⊥ED。
求证: ABCD是矩形
点拨:要证 ABCD为矩形,只要证得对角线AC=BD即可。若连结AC、BD,它们相交于点O,再连结OE,由上面的性质可得AC=BD。
证明:连结AC、BD,它们相交于点O,连结OE。
∵四边形ABCD为平行四边形∴OA=OC,OB=OD
∵AE⊥EC∴�AEC是直角三角形∵O是斜边AC的中点 ∴OE=AC
同理得,OE=BD ∴AC=BD∴ABCD是矩形
练一练:
在�ABC中,AD是高,CE是中线,且DC=BE。
求证:∠B=2∠BCE
提示:连结DE
在Rt?荪ABD中,∵E是斜边AB的中点,∴DE=BE=AB ∴∠B=∠BDE
又∵BE=DC∴DC=DE ∴∠DCE=∠DEC
∵∠BDE是�DCE的一个外角 ∴∠BDE=∠DCE+∠DEC=2∠DCE
∴∠B=2∠BCE
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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