在高中物理中常见到带电粒子在互相正交的磁场与电场中运动这类习题。但对带电粒子在正交的电磁场中运动的轨迹是怎样的这一问题，由于涉及高等数学知识，无法对高中学生说清楚，因此在分析问题时往往只介绍说其轨迹为摆线（旋轮线）就不再深究。其实，应用摆线的特征结合初等数学知识也可以推导其运动轨迹方程，这对理解其运动，避免在编拟类似试题时出现科学性错误等方面是很有意义的，而且这种分析问题的方法在解决带电粒子在复合场中的运动这类问题也是很有意义的。现推导其运动轨迹方程如下。
1 思路
由摆线的几何意义（一个动点同时参与匀速直线运动和匀速圆周运动，其实际的运动轨迹就是摆线，如以地面为参考系，匀速直线运动汽车的车轮上一点的运动轨迹即为摆线）可知，做摆线运动的质点同时参与了匀速直线运动和匀速圆周运动两个互相独立的运动。所以，研究带电粒子在电磁复合场中的运动时也就可以将其分解为两个方向的运动，使其中一个分运动的洛伦兹力恒与电场力抵消，带电粒子只受另一分运动的洛伦兹力作用，即做匀速圆周运动。这样根据运动独立性原理，分析这两个分运动就能得到带电粒子运动的轨迹方程。
2 证明
如图1所示，有一质量为m带电量为+q的带电粒子（重力不计），开始时静止于直角坐标系xoy平面的原点o。今在+y方向加一匀强电场E，同时有垂直xoy平面方向的匀强磁场B（如图1所示）。
3 讨论
3．1 运动轨迹的基本情况
通过以上分析，在编拟带电粒子在复合场中的运动试题时应注意避免以下两个容易放错误的情况。
（1）误认为带电粒子起始运动轨迹为圆。如摆长为l的轻质带电单摆小球在正交磁场中由静止释放，如图4所示 ，由于小球运动轨迹的曲率半径是从起点开始逐渐增大的，在开始阶段小球将不沿图中的圆轨迹运动，而沿摆线运动，直到当圆轨迹与旋轮线相交时再沿圆轨迹运动。所以，编拟带电体在类似复合场中运动的问题时要避免犯这样的错误，认为小球由图3所示的位置释放后立即沿圆周运动，造成科学性错误。
（2）误认为带电粒子沿旋轮线运动到图2中的最高点时将做直线运动。事实上，该处带电粒子所受洛伦兹力的大小为 f＝2Eq，这说明在该点带电粒子受到的洛伦兹力大小恒为电场力的2倍。所以带电粒子运动到最高点时速度方向虽然平行x轴正方向，但并不沿x轴正方向做匀速直线运动。教师编制此类习题时应格外小心谨慎。
3．3 进一步拓展，提出如下问题
如果图1中的带电粒子在坐标系原点o具有垂直于电场和磁场方向沿＋x方向的初速度v�0，其运动轨迹又是怎样的呢？
将由图7 (a)求出的位移⑩、○11两式与前面由图1求出的位移⑥、⑦两式比较可知在开始阶段带电粒子做匀速圆周运动的分位移x、y的方向相反(由正、负号表示)。
图8所示的带电粒子的运动方程○12、○13两式跟图1所示的带电粒子的运动方程⑥、⑦两式对比，不难发现形式完全一样，但图8和图2所示的运动轨迹却有较大差异，原因是图2中带电粒子在原点o的初速度为0,而图8中带电粒子在原点o的初速度为v�0＝v�1－v�2。
以上分析说明带电粒子垂直进入正交的电场、磁场区域时，若满足v�0＝EB时，粒子做匀速直线运动（如速度选择器）；若v�0≠EB时，粒子将做类似摆线运动，并非一直向上或向下偏转打在极板上，只有当两极板间距离d的一半小于旋轮的直径2R时，粒子才能打到极板上。我们在编选速度选择器一类习题时，并不知道带电粒子有可能打不到极板上的情形，这一问题应引起大家的关注。
4 应用
带电粒子的旋轮线运动的分析研究方法，在解一类习题中具有特殊意义，可以使解题方法得到简化，下面试举一例。
(栏目编辑赵保钢)
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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