数列是高考的必考内容，数列题难度较大，考生失分比较多，关于数列的通项问题主要有下列几种方法： 一、观察法 例1.根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项.
①1，4，9，16，… ②1，2，3，4，… ③0.9，0.99,0.999，0.9999，…此类问题常用的方法是观察法，由an与n之间的联系，通过合理的联想，转化，用归纳法写出一个通项。上面四题可得通式为①an=n2，②an=n+，③an=1-.
二、累加法，累乘法
例2.求数列1，3，7，15，31，…的通项公式.
解：∵a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=8…an-an-1=2n-1，将这n个式子累加，得an-a1=2+22+23+…+2n-1=2n-2 ∴an=a1+2n-2=1+2n-2=2n-2
累加法通常求形如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式，累乘法通常求形如：
an+1=g（n）an的递推数列通项公式。
例3.已知a1=1，an+1=（n+1）an，求an.
解：因为an+1=（n+1）an所以=n+1=n，=3，=2，a1=1
累乘可得an=n×（n-1）（n-2）3×2×1
三、公式法
数列为等差数列或等比数列，直接运用公式an=a1+（n+1）d，an=a1qn-1求通项公式。
四、转化法
通过变换递推关系，将非等差或等比数列转化为等差或等比数列而求的通项公式一般有两种途径。
1.凑配，消项变换，将一阶线性递推公式an+1=qan+d（q，d为常数q≠0，q≠1）通过凑配变成an+1+=q（an+）或消常数项转化为an+2-an+1=q（an+1-an）.
2.倒数变换将一阶分式递推公式an+1=（c、d为非零的常数），取倒数=×+.
例4.已知a1=5，an=2an-1+3（n≥2），求an.
解∵an=2an-1+3（n≥2）
∴an+3=2（an-1+3），所以an-1+3是等比数列，公比为2，所以an+3=（a1+3）2n-1，所以an=8×2n-1-3=2n+2-3
五、由数列的前n项和可求通项an
例5.已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n，求数列an的通项an.
解：当n=1时，a1=S1=2-3=-1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2（n-1）2+3（n-1）=4n-5
当n=1时，代入an=4n-5得an=-1
所以an=4n-5
思维精析：给出了数列an的前n项和Sn或Sn与an的关系式，求通项an，有如下关系：an=S1，（n-1）Sn-Sn-1（n≥2），特别是当n≥2时，an也适合n=1，可直接写成an=Sn-Sn-1（n∈N*），否则用分段函数形式表示通项an.
求数列的通项公式，通常使用上面的几种方法。
作者单位：江苏灌云伊山高级中学
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