摘要：在学习统计学过程中，许多学生会觉得很多的统计指标很抽象、很难理解，比如标准差的意义：标准差越大，说明离散程度就越大，均数的代表性就越差；反之，标准差越小，说明离散程度就越小，均数的代表性就越好。很多学生在离散程度大小上感到难以理解。在教学中，我通过图解法，许多学生就觉得标准差的意义好理解，非常的简单。
关键词：图解法；标准差
中图分类号：G633文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）07-0-01
在学习统计学过程中，许多学生会觉得很多的统计指标很抽象、很难理解，比如标准差的意义：标准差越大，说明离散程度就越大，均数的代表性就越差；反之，标准差越小，说明离散程度就越小，均数的代表性就越好。很多学生在离散程度大小上感到难以理解。在教学中，我通过图解法，许多学生就觉得标准差的意义好理解，非常的简单。下面我就举例说明如何使用图解法来讲解标准差。
例：有三组资料：
甲组4，5，6，7，8，9，10；
乙组2，3，5，7，9，11，12；
丙组2，4，6，7，8，10，12；
若用均数来描述其集中趋势，均数均等于7，但大家一看就知道，这三组资料的分布并不相同，或者说离散程度不同，这是在分析资料时必须加以考虑的。表示离散程度的指标有：极差、方差、标准差、变异系数等。
极差是观察值中的最大值与最小值之差。极差大，说明离散程度大，极差小，说明离散程度小。=10-4=6，=12-2=10，=12-2=10。＜，说明乙组的离散程度大于甲组。但=，能不能就说乙组和丙组的离散程度一样了呢？显然不能，极差只和观察值中的最大值和最小值有关系，跟组内其他数据无关，大家一看就知道，乙组和丙组内部数据分布并不相同。下面我们就画个图（如图1）大家可以看得更清楚。
大家一看图便知，乙组的5和9、3和11比丙组的6和8、4和10离均数7都更远（这两对数据可以用不同颜色的粉笔在黑板上标出来），其他2和12相同。显然乙组内部分布比丙组内部分布的离散程度大。这是极差所不能反映的。也就提醒要考虑组中每一个数与均数的离散程度，也就是可以用离均差表示，
但数理统计可以证明，由于正负号相互抵消，各观察值的离均差之和必等于。
这样还不能反映各个数的离散程度，那我们可以用离均差平方以后再相加，这样负数也变成正数，离均差平方和即可以把乙组和丙组的数据代入计算，得乙组的离均差平方和
=(2-7)2+(3-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)2+(12-7)2=90
大于丙组的离均差平方和
=(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2=70，
而乙组和丙组的变量个数相同，由此可以得到这样结论，离均差平方和越大，离散程度就越大（这个从图中可以很直观地看出来）。
�L(x-�e)2=70+（m1-7）+（m2-7）就要大于70了（在离散程度不变的前提下，可以得出m1=7-，m2=7+）。
为了消除变量个数对离均差平方和大小的影响，可以考虑取离均差平方和的均数，得到的是总体方差，如下式所示。
由于各个离均都经过平方，原来的度量单位都变为平方单位了，为了用原来单位表示，可以把总体方差开平方，得到总体标准差，公式如下
由于变异度越大，则离均差平方和越大，标准差就越大，故标准差越大，说明个体变异度越大，则平均数的代表性就越差。
我们再把前面本组数据分别代入公式计算
可得
从乙、丙二组的标准差可以看出，乙组的标准差大于丙组的标准差，可以认为乙组的变异度大于丙组。再结合前面的线段，可以很直观看出乙组的变异度大于丙组。可以认为均数7作为丙组的代表性要好于乙组。
通过图学生就可以很好地理解标准差的计算及其所表示的意义。
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