摘 要: 尺规作图是初等几何教学中重要的一环,它影响到学生的几何学习。本文作者对初等几何教学中尺规作图对学生几何学习的影响进行了调查分析,并对尺规作图的教学提出了一些建议。
关键词: 几何教学 尺规作图 几何学习 影响
1.引言
尺规作图如今在几何教学中是一个正在日益受到重视的教学领域。它的使用对于初中平面几何的影响及意义越来越显著。在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图。虽然尺规也是画图工具,但尺规作图不同于用工具画图,尺规作图只限于用无刻度的直尺和圆规,直尺用于根据两点的位置作直线、射线、线段或作延长线,圆规用于根据圆心位置、半径大小作弧或圆。所以作图题都应用直尺或圆规作图,而不能把用三角尺画直角、画平行线等当作尺规作图。尺规作图需按一定的公法来进行,作图公法能确定三种简单的作图。能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图,从而最终可以得到给定条件的图形,这一类作图题称为尺规作图可能问题。反之,凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形,这一类作图题就称尺规作图不能问题。用尺规作图法可以完成的最基本作图有如下五种:(1)画一条线段等于已知线段;(2)画一个角等于已知角;(3)画线段的垂直平分线;(4)过已知点画已知直线的垂线;(5)画角的平分线。而根据这种最基本作图又可以用尺规完成下列关于三角形的图形的基本求作:已知三边作三角形,已知两边及其夹角作三角形,已知两角及其夹边作三角形,已知底边及底边上的高作等腰三角形,已知一直角边及斜边作直角三角形。在些基础上,人们就可以进一步进行尺规作图的扩展。
用尺规法画图十分方便,尺规作图不仅仅工具简单,使用方法也最简便,免去了度量,准确度更高。这种只限于用尺、规,作出符合一定条件的几何图形,无疑是一种很强的约束力,这种约束力要求学习者具有较强的数学思维能力和操作能力。这种约束力在几何理论学习和研究上有一定的科学价值。[1]尺规作图具有的这种约束力,在几何学上可以训练学生严密的逻辑思维能力,激发学生的学习兴趣,培养学生的严谨的工作态度,对学好初等几何具有深远的意义。
2.尺规作图对学生几何学习的影响
2.1研究目的
由于一个人的几何学习能反映出一个人的数学思维方面的主要活动。它能反映出一个人的数学学习的观察力,影响他对数学学习的兴趣、动机和动力,决定着他用几何处理实际问题的能力。当前的新课程标准对传统几何能否转到直观的位置上非常注重。未来的几何学习应当重视以下四个步骤:直观感知―操作确认―思辨论证―度量计算。但在中国的几何教学,把前两个步骤忽略了,变成纯粹的思辨论证,以及论证基础上的计算。缺乏直观,实际上就扼杀了几何。[2]有人曾经说:“几何教学的作用是培养学生的理性思维能力。”是的,但我们在教学中却不能死板、教条,不能只停留在理性思维上,要让学生学会独立思考的意识,要使每一个学生都有探索真理的勇气,敢于实践、敢于创造、敢于发明、不守成规,在创新中发展,在发展中创新。可以说,几何中的尺规作图是让学生从经验提升到理论上来的重要途径,能让学生从中举一反三,同时这也是数学几何教学中难得的实践活动。这项活动开展得好,对学生的几何学习是难得的,是非常有益的,对学习几何会产生深远的影响。为充分认识几何教学中尺规作图的教学对学生几何学习的影响,我进行了为期近一年的对比实验研究,现将研究过程与方法列出如下。
2.2研究方法
根据研究目的,在2005年9月,我选择了下列两班作为被试的对象:
实验班:2005级药学高职(1)班
控制班:2005级药学高职(2)班
其中:两个班的学习成绩情况基本相当;实验班和控制班是随机选定的;这两个班的数学几何教学由我一人承担。
2.3实验过程
2.3.1首先在几何学习开始初期对这两个班的学生的数学成绩进行测试。
统计出二班学生的成绩统计表如下。
2.3.2对两个班学生在几何学习方面的一些情况进行问卷调查。
设计出如下的调查问卷。
(1)你对几何学习的兴趣是()。
A.非常感兴趣 B.比较感兴趣 C.一般兴趣 D.不感兴趣
(2)你对自己几何学习方法的自我评价是()。
A.很满意 B.比较满意 C.不满意 不知道
(3)你认为学好几何的标准是()。
A.会证明几何题 B.不仅学会看而且学会画图
C.有较强的逻辑思维能力 D.其它
(4)你对尺规作图的感受是()。
A.枯燥乏味
B.能提高自己的理性思维能力
C.从作图中得到了美的享受
D.平时作图的实践太少
对两个班的学生问卷调查作出如下统计表。
从上面的调查问卷中可以看出,两个班学生在几何学习期初对几何学习的兴趣与认识方面差别不大,数学课程的学习成绩无明显差距。
2.3.3结合几何教学的内容,有计划地进行几何尺规作图的训练。
一学年来,在数学中关于几何教学的主要内容有:点、线、面、线段、直线、射线、平行与垂直、角、三角形的全等、四边形。在本学年的几何课堂教学(每周四学时)中,在控制班,我以大纲要求掌握的基本作图及一些三角形的作图为主,没有讲解训练其它的关于几何作图的相关知识,而以解题及证明为主的练习代之。而在实验班的几何课程的教学中,我首先将基本作图进行扩展,将以下作图类型也扩展为基本作图:(1)作已知三角形的外接圆、内切圆、旁切圆;(2)以定线段为弦,作一含已知角的弓形弧;(3)从圆上或圆外一点作已知圆的切线;(4)n等分已知线段;(5)内(外)分一已知线段,使得所得线段的比等于两已知线段的比;(6)作三条已知线段的第四比例项;(7)作一线段等于两已知线段平方和(差)的算术平方根;并以这些为基础,增加训练上述基本作图及扩展后的基本作图之外的有关几何作图方面的知识,通过对这些作图的训练,拓展学生的思维的能力。例如,在会作已知锐角α的平分线的基础上,训练实验班学生思维扩展到能迅速作出:(1)作已知直角的平分线;(2)会作22.5°的角;(3)作已知钝角的平分线;(4)将已知角四等分;(5)作15°的角;(6)拓展到一些实际问题。例如已知公路AB和CD,准备在两公路间修一条高速公路,与两公路始终保持等距,试画出高速公路示意图。由上例可以看出,我们在该班尺规作图的试题教学中进引各种变化,但归根结底,却又回归到基本作图,让学生在学习中要抓住基本作图的“精髓”,然后进一步的深化与提高,从而把较复杂的作图题转化到基本作图上来,能充分打开学生学习几何的思路。
同时,在对实验班的几何作图教学中,我还十分重视对所作的图形的证明和讨论;而在控制班,这方面重视相对偏弱些。在证明所作的图形为正确的过程中,让学生充分认识到作图题证明和普通证明的区别所在,在作图题的证明过程中,特别要注意运用已知条件和在作图中创设的条件。在讨论部分,专门研究作图是否有解,有几个解,在不同条件下,各有什么结论,同时对不同条件下有不同结果的作图让学生详细写出作图的过程,并画出不同条件下各自的图形。在这样的过程中,学生的辨别能力得到了训练和提高,对比分析能力得到了加强,对几何有了更直观的感受。
学期结束后,我对两个班级进行的几何部分阶段测试成绩统计表如下。
统计结果显示:(1)尺规作图的教学能显著提高实验班学生的几何学习的直观性,对学生的理性思维能力有很大的提高,能培养学生对几何学习的兴趣,提高学生几何学习的成绩。(2)同时,加强学生尺规作图的训练,能提高学生数学学习的动手操作,在数学平面几何教学中,提供给学生充分的动手操作的空间,真正体现出《新课标》所倡导的“自主、合作、探究”的学习模式。以几何作图为主的动手操作在几何教学中的作用是举足轻重的,教师要能够抓住时机,让学生从动手操作中帮助理解并获得几何学习的启示。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 3.结论与建议
3.1结论
通过这一年的调查研究发现,尺规作图在一定程度上对学生的几何学习产生了影响,而几何学习又对学生的数学学习产生了影响。通过对尺规作图的扩展,学生对几何的直观认识更加深入,对点、线、面、垂直平行、角、平分、垂直平分、三角形等各种几何基本概念有了进一步的了解,对它们的关系有了更深认识。这样使学生能够感受物质存在的位置关系、构作几何图形、正确地加以描绘,并能体会其中的本质,[3]从而带来学习上的积极影响和主动精神。而相反,认为几何教学中只应注重证明及计算,忽视直观的图形的观点,对几何教学及整个数学的教学是非常不利的。它会影响学生的几何学习及整个数学的学习。
在人类历史上,人们曾经进行过无数的尺规作图问题的尝试,其中甚至有些是不可能用尺规作图的问题。最著名的是几何中的三大不可能尺规作图问题:三等分角、化圆为方、倍立方。多少人耗尽毕生的心血,付出无数的汗水,为之努力、奋斗。尽管他们是徒劳的,但在这尺与规的方圆之间,人们对几何的魅力又有了新的认识,这从另一方面来说对数学的发展也是一种具大的推动。从中人们更深刻地领悟到了什么是真正的尺规作图,尺规作图中应注意什么,人们对数学的认识还存在哪些薄弱环节。
当前,由于应试教育的影响,在相当多的几何教学中,教师仍以传统的思辨论证和论证基础上的计算为主。这是当前几何教学中急待解决的问题,这会将几何的教学引入了传统的误区,这对学生的几何学习是一种误导,它使几何的直观无法得到展现,我们在几何教学中不能忽视使用尺规作图这一难得的直观手段。
3.2建议
在几何教学中,如何进行尺规作图的教学,这是一个不断创新的主题。我们在教学中对什么是几何作图和几何作图的一般步骤要重点说明,在教学中,要说明几何作图与一般画图不同,它严格规定只准用直尺(没有刻度)和圆规为工具,而且每一步作图都必须有根有据,不能随便画。我们一定要以五种基本作图为基础,在掌握好五种基本作图的基础上,再介绍其应用,然后在此基础上进行扩展。比较复杂的作图,要经过严格分析,才能找到作图的依据和方法。而在每一次的作图中我们首先要仔细分析所要作图的命题,通过对命题的分析,分清已知什么,求作什么,才能化出已知条件,写好已知、求作。在讲解作法时,最好边画图边叙述,然后让学生说明作法的正确性,再写出作法。作图后对作法进行证明(或引导学生写证明),应引导学生学会对所作的图形进行证明,这样可使学生确信作图的正确性。在讲完后,教师要让学生反复练习,发现错误,及时纠正,防患未然,在练中学,在学中练,以便让学生切实掌握作图方法。在每次的作图中,教师要注意新旧作图知识的交叉,要做到互相渗透,相辅相成,这样才能收到较好的教学效果。
当前,尺规作图在几何教学中的意义越来越显著。只要重视这一几何教学中难得的直观工具,几何教学会更加丰富多彩,学生的几何学习会有更大的提高。
参考文献:
[1]孙月光.初中几何教学研究.上海:上海教育出版社,2000:113-114.
[2]I.V.沙雷金.直观几何.上海:华东师范大学出版社,1998,3.
[3]张奠宙,李士�,李俊.数学教育学导论.北京:高等教育出版社,2003:79.
[4]袁国振.教育研究方法.北京:高等教育出版社,2000.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文