带电粒子在有界磁场中偏转运动时，往往出现运动轨迹多样，因而可能存在多解，但这一点很容易被忽视.在一次模拟考试中，有这样一道题目： 如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是边长为a的正方形，内外的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m电荷量为q的带负电微粒从P点沿边长向左侧射出，要求微粒始终做曲线运动并最终打到Q点，不计微粒的重力，外部磁场范围足够大.求：从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间.
题图
原参考答案：
如图1，当轨道半径R=a时，经T打到Q点；
图1
如图2，当轨道半径R=a/3时，经T打到Q点；
图2
如图3，当轨道半径R=a/5时，经T打到Q点.
图3
依次推导，可得轨道半径表达式：
R=a （n=0，1，2，…）
∵R=
∴v= （n=0，1，2，…）
运动时间表达式：
t=nT+T （n为偶数）
t=nt+T
（其中T=T）
分析：参考答案看似简单明了，但实际上存在疏漏.题目要求“微粒始终做曲线运动并最终打到Q点”，并没有要求竖直打到Q点，参考答案给出的都是竖直向下达到Q点的情况.经过分析，与竖直方向成一定夹角打到Q点也是符合题意的.这样的话，粒子运动的情形又多了几种可能，而远非原解那么简单.下面试补充解答如下.
1.若微粒越过左边界顶点斜向右下方打到上边界，最终斜向右方打到Q点，如图4，根据对称性，上边可以等分成三段，每一段长为Rsinθ，根据几何关系列出以下两个式子：
3Rsinθ=a
R+Rcosθ=a
联立解得：sinθ=，R=a.
图4所示的轨迹是简单的一种，上边还可以等分成五段、七段等奇数段，左边也可以有多个半圆，如图5、图6、图7.
通过分析它们之间的几何关系，可以列出通式如下：
左边边长与轨道半径的关系为：
（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
上边边长与轨道半径的关系为：
（4m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
联立解得：
sinθ=
R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
对结果进行验证，当n≥2m时符合题意.而且可以发现这个解答包含了图4到图7等各种情形，还包含了原参考答案中图1和图3的情形.
2.若微粒从左边界上某点穿过后斜向右上方打到上边界，最终斜向右方打到Q点，如图8，根据对称性，上边可以等分成三段，每一段长为，根据几何关系列出以下两个式子：
3Rsinθ=a
3R-Rcosθ=a
联立解得：sinθ=1或sinθ=，R=a或R=a.
图8所示的轨迹是简单的一种，上边还可以等分成五段、七段等奇数段，左边也可以有多个半圆，如图9、图10.
通过分析它们之间的几何关系，可以列出通式如下：
左边边长与轨道半径的关系为：
（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
上边边长与轨道半径的关系为：
（4m+3）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
联立解得：
sinθ=
R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
当n≥2m+1时符合题意.而且可以发现这个解答包含了图8到图10等各种情形，还包含了原参考答案中图2的情形.
以上两种情况中的结果很相似，经过对几何关系研究，可整合得到
（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
（2m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
联立解得：
sinθ=
R=
所以v= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
当n≥m时符合题意.
对于运动时间，也可用同样的方法找规律，列通式，整合.最后得出的结果为：
t=（m+1）+（2n+1）T（m为偶数）
或t=m+（2n+1）T（m为奇数）
从以上解答来看，解答过程复杂，显然已超出命题者的初衷.若将“最终打到Q点”改成“最终竖直打到Q点”，则原题参考答案正确.
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