[赋值法在解答数学问题中的应用] 数学赋值

  摘 要:在数学解题过程中,我们经常碰到一些棘手的问题,往往要选择不同的方法才能对付不同的问题,这是数学问题解答的常见办法。本文主要论述运用赋值法解答数学问题。   关键词:数学问题 赋值法 解题方法
  
  赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式,赋予恰当的数值或代数式后,通过运算推理,最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在解答数学问题中的应用。
  
  一、赋值法在二项展开式中的应用
  
  例3. 设f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),求证:f(0)≠0时,f(x)是偶函数。
  分析:函数奇、偶性的判断,根据定义须在关于原点对称的定义域中来判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。
  证法一:令x=y=0,则f(0)=1。
  赋x为0,y为x,则有:f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数。
  证法二:赋y为x,x为y,则有:
  f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)…………………………………(1)f(y+x)+f(y-x)=2f(y)f(x)…………………………………(2)
  ∴f(x-y)=f(y-x)=f(-(x-y)),即f(x)为偶函数。
  
  三、赋值法在恒成立问题中的应用
  
  例4. 是否存在实数a,b c,使得函数f(x)=ax +bx+c对于任意实数a均满足下列条件:
  (1)f(sinα)≥2;(2)f(2-cosα)≤2;(3)f(4)≥c,若存在,找出一组数a,b c,并画出函数的图象,若不存在,说明理由。
  解析:若直接把sinα、2-cosα、4代入原函数化简,方程个数较多,自变量形式复杂,给解题带来一定难度,注意到题目中条件对一切实数α均能使等式恒成立,故不妨令α为特殊值为突破口。
  在(1)中令sinα=1,则有f(1)≥2,在(2)中令cosα=1,则有f(1)≤2,
  ∴f(1)=2,即a+b+c=2;
  由f(4)≥c,得4a+b≥0,
  在(2)中令cosα=-1,可得f(3)≤-2,化简即得4a+b≤0,可得4a=-b,则可求得c=3a+2;
  
  在(2)中令cosα=0,有f(2)=2-a≤2,∴a≥0,则(1)式表示开口向上,对称轴为x=2的抛物线,取a=1,此时b-4,c=5,所得抛物线符合题意。
  四、在选择题及填空中的特殊应用
  选择题、填空题因其题目的特殊性,在有些问题中不要求有严密的推理证明,而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可,故其应用相当普遍。
  
  例7. △ABC中,角A,B,C依次成等差数列,则a+c与2b的大小是(?摇?摇)。
  A. a+c<2b?摇 B. a+c>2b?摇 C. a+c≥2b ?摇D a+c≤2b
  解析:题中没有给定三角形的形状,不妨令A=B=C=60°,则可排除A、B,再取角A、B、C分别为30°、60°、90°,可排除C,故答案为D。
  
  解析:∵f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得:(x+1+a) (1-x+a) ,化简后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,不妨令x=0,可得f(1)=0,代入原函数关系可得a=-1,即f(x)=(x-1) ,故f(2)+f(-3)=-63。
  
  注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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