摘要:辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境 .问题.反思.应用”教学实验,旨在培养学生的数学问题意识,养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯,提高学生解决数学问题的能力,增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提,提出问题是重点,解决问题是核心,应用数学知识是目的,因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。
关键词:余弦定理;教学案例;三角形
中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)09-0080-02
在初中的学习三角形全等的过程已经认识到对于确定一个三角形需要至少三个条件,但是并不是只要有三个条件就可以确定一个三角形了,那么在能够确定的三角形中如何去计算其他边角的值呢?在已知学习了正弦定理的条件下,余弦定理的出现也是顺理成章的事情,并且“余弦定理”具有一定广泛的应用价值,教学中我们从实际需要出发创设情境。
【案例过程】
1、设置情境
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度(如下图),已知车箱的最大仰角为60°,油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20",AC的长为1.40m,计算BC的长(保留三个有效数字)。
2、提出问题
师:大家想一想,能否把这个实际问题抽象为数学问题?(数学建模)
生:能,在三角形 ABC,已知AB=1.95m,AC=1.40m,∠BAC=60°+6°20′=66°20′,求BC的长。
师:能用学过的知识求解吗?为什么?
生:不能。这个不是特殊的三角形,又正弦定理主要解决:已知三角形的两边与一边的对角,求另一边的对角;已知三角形的两角与一边,求角的对边。 (师生共同回顾,并复习正弦定理和适用范围)
师:那么我们把这个问题一般化,也就是它的实质是什么?
生:在三角形中,已知两边和它们的夹角,求第三边。(一般化)三角形 ABC,知AC=b,BC=a,角C,求AB。
(当然在学生的总结过程中没有这么精炼,要求在平时多多训练,养成良好的学习习惯)
3、解决问题
师:请同学们想一想,我们以前遇到这种一般问题时,是怎样处理的?( 引导学生思考一般我们在探索数学新知的过程中,如何处理这些问题的)
师生共同:先从特殊图形入手,寻求答案或发现解法。(特殊化)
可以先在直角三角形中试探一下。
直角三角形中c2=a2+b2 (勾股定理角C为直角)
斜三角形ABC中(如图3),过A作BC边上的高AD,将斜三角形转化为直角三角形。(联想构造)
师:垂足 D一定在边BC上吗?
不一定,当角 C为钝角时,点D在BC的延长线上。
(分类讨论,培养学生从不同的角度研究问题)
在锐角三角形 ABC中,过A作AD垂直BC交BC于D,在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsinC, CD=ACcosC 即AD=bsinC, CD=bcosC
又 BD=BC-CD,即BD=a-bcosC
∴c2=b(sinC)2+(a-bcosC)2
=b2sinC+a2-2abcosC+b2cos2C
=a2+b2-2abcosC
同理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB
在钝角三角形 ABC中,不妨设角C为钝角,过A作AD垂直BC交BC的延长线于D, 在直角三角形 ADB中,AB2=AD2+BD2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsin(π-C),CD=ACcos(π-C),即AD=bsinC, CD=-bcos C,又BD=BC+CD,即BD=a-bcosC
同理:a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
这是学生的一般思路,但是我们发现这个证明过程显得复杂,数学我们是一种懒人教育,如何联系前面学过的知识,使得不需要讨论而更简洁方便,联想余弦与边的关系同时回顾正弦定理的证明过程中所用到的思想,发现和向量的数量积有点相联系。构造向量间的关系
[推导] 如图在三角形 ABC中,AB、BC、CA的长分别为c、a、b
即b2=a2+c2-2accosB
同理可证 ,a2=b2+c2-2bccosA, c2=a2+b2-2abcosC
4.得出结论
余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的预先的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
5.适用范围
已知两边和夹角,求其他边角
6.实际问题解决
教学情境中的问题
7.课堂小练
(1)在△ABC中,bCosA=acosB,则三角形为( )
A直角三角形 B锐角三角形
C等腰三角形�D等边三角形
(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC为――;若a2=b2+c2,则△ABC为 ――――;若a2